2019　関西大　理系学部2月5日実施MathJax

【１】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x^3+ax}{x^2+3}}$があり，$x=1$で極値をもつ．ただし，$a$は定数である．また，座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$\underset{x\to \infty }{\lim }\{f(x)-x\}$を求めよ．

(3)　$f(x)$の極値を求め，増減表をかけ．ただし，曲線の凹凸については調べる必要はない．

(4)　$C$と$x$軸の$x\geqq 0$の部分で囲まれる図形の面積を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}\text{，}$$\{c_n\}$を次のように定める．

$a_1={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$$b_1=5a_1{a}_2\text{，}$$\{\begin{array}{l}{a}_n-a_{n+1}=2a_n{a}_{n+1}\\ b_{n+1}-b_n=4a_n{a}_{n+1}{a}_{n+2}\\ c_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}\end{array}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の$\boxed{}$をうめよ．ただし，$\boxed{\text{③}}$以外は数値をうめよ．

(1)　$b_1=\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$c_{n+1}=c_n+\boxed{\text{②}}$と表される．また，$S={c_1}^2+{c_2}^2+{c_3}^2+\cdots +{c_n}^2$

を$n$を用いて表すと，$S={\displaystyle \frac{n}{3}}(\boxed{\text{③}})$である．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{30}}{a}_k{a}_{k+1}=\boxed{\text{④}}$である．

(4)　$a_n{a}_{n+1}{a}_{n+2}=\boxed{\text{⑤}}(a_n{a}_{n+1}-a_{n+1}{a}_{n+2})$を利用すると，${\displaystyle \sum _{k=1}^{30}}=\boxed{\text{⑥}}$である．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，$2$つの焦点${\mathrm{F}}_1$$(p,0)\text{，}$${\mathrm{F}}_2$$(-p,0)$$\text{（}p>0\text{）}$からの距離の和が一定である楕円$C$があり，$C$は$2$点$(-3,0)\text{，}$$(\sqrt{3},-{\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}})$を通る．このとき，次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$C$の方程式は$\boxed{\text{①}}=1$である．

(2)　$p=\boxed{\text{②}}$である．

(3)　$k$を定数とする．$C$と直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+k$が異なる$2$つの共有点をもつときの$k$の値の範囲は$\boxed{\text{③}}$である．

(4)　${\mathrm{F}}_1\text{，}$${\mathrm{F}}_2$を焦点とし，$2$本の漸近線$y=\pm {\displaystyle \frac{1}{2}}x$をもつ双曲線の方程式は$\boxed{\text{④}}=1$である．

(5)　(4)の双曲線と$C$の共有点のうち，第$1$象限にあるものを$\mathrm{A}$とする．$\mathrm{A}$の座標は$\boxed{\text{⑤}}$であり，$\mathrm{\angle OA}{\mathrm{F}}_1=\boxed{\text{⑥}}\mathrm{°}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　原点を出発して数直線上を移動する点$\mathrm{P}$がある．さいころを$1$回投げて，奇数の目が出たら$\mathrm{P}$は正の方向に$3$だけ進み，偶数の目が出たら$\mathrm{P}$は負の方向に$2$だけ進む．さいころを$10$回投げたとき，$\mathrm{P}$が原点にある確率は$\boxed{\text{①}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　$k>0$とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に傾きが$k$で，点$(2,0)$を通る直線がある．この直線と点$\mathrm{O}$の距離が$1$以上$\sqrt{2}$以下であるような$k$の値の範囲は$\boxed{\text{②}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　$t={\log }_{2}x$とする．${\log }_{x}8$を$t$を用いて表すと，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{③}}}{t}}$である．また，$x>1$のとき，${\log }_{x}8+{\log }_2{x}^2$の最小値は$\boxed{\text{④}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　座標空間に$3$点$\mathrm{A}$$(1,2,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,1,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,-1,a)$があり，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角は$90\mathrm{°}$である．$a=\boxed{\text{⑤}}$であり，点$\mathrm{P}$$(2,3,b)$が平面$\mathrm{ABC}$上にあるとき，$b=\boxed{\text{⑥}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　複素数平面上に$3$点$\mathrm{A}(-2)\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )\text{，}$$\mathrm{C}(\gamma )$を頂点とする正三角形があり，$\mathrm{O}(0)$がその重心であるとき，$\beta \gamma =\boxed{\text{⑦}}$である．