2019　関西大　全学部日程文系学部2月7日実施MathJax

$C_1\text{：}{x}^2+y^2=2\text{，}$$C_2\text{：}{(x-1-\sqrt{3})}^2+y^2=4$

がある．この$2$つの円で囲まれた図形の面積$S$を求めたい．次の$\boxed{}$をうめよ．

　円$C_1$の中心は原点$\mathrm{O}$であり，円$C_2$の中心$\mathrm{A}$の座標は$\boxed{\text{①}}$である．$C_1$と$C_2$の$2$つの交点を$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$とする．$\mathrm{E}$の$y$座標が正であるとき，$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$の座標はそれぞれ$\boxed{\text{②}}\text{，}$$\boxed{\text{③}}$である．また，$\mathrm{▵EOF}\text{，}$$\mathrm{▵EAF}$について考えると，

$\mathrm{\angle EOF}=\boxed{\text{④}}\pi \text{，}$$\mathrm{\angle EAF}=\boxed{\text{⑤}}\pi$

である．求める面積$S$は，$\mathrm{OE}$を半径とし$\mathrm{\angle EOF}$を中心角とする扇形の面積から$\mathrm{▵EOF}$の面積を引いた値$S_1$と，$\mathrm{AE}$を半径とし$\mathrm{\angle EAF}$を中心角とする扇形の面積から$\mathrm{▵EAF}$の面積を引いた値$S_2$の和である．$S_1=\boxed{\text{⑥}}\text{，}$$S_2=\boxed{\text{⑦}}$であるから，$S=S_1+S_2$が求められる．

　$a\text{，}$$b$を$a^2+b^2\leqq 4$を満たす定数とし，$0\leqq x<2\pi \text{，}$$0\leqq y<2\pi$の範囲で，$x\text{，}$$y$の方程式

$\sin x+\cos y=a\text{，}$$\cos x+\sin y=b$

を考える．それぞれの式の両辺を$2$乗して和をとることにより，

$\sin (x+y)=\boxed{\text{①}}$

となる．

　$a=b=0$のとき，$x+y$の値は$\boxed{\text{②}}\pi$または$\boxed{\text{③}}\pi$である．ただし，$\boxed{\text{②}}<\boxed{\text{③}}$とする．

　$a\ne 0$または$b\ne 0$のとき，$\theta$を

$\sin \theta ={\displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}\text{，}$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}$

を満たす定数とする．このとき，

${\cos }^{2}y+{\sin }^{2}y={(a-\sin x)}^2+{(b-\cos x)}^2$

を用いると，$\sin (x+\theta )=\boxed{\text{④}}$が得られる．とくに，$a=b={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}$のとき，$x$の値は$\boxed{\text{⑤}}\pi$または$\boxed{\text{⑥}}\pi$である．ただし，$\boxed{\text{⑤}}<\boxed{\text{⑥}}$とする．

(1)　関数$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$上の点$(a,f(a))$における接線と，点$(a+1,f(a+1))$における接線が平行であるとき，$a$の値を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$上の点$(b,f(b))$における接線を$l$とする．$l$と異なる曲線$y=f(x)$の接線で，$l$と平行なものが存在しないとき，$b$の値，および$l$の方程式を求めよ．