2019　関西大　全学部・センター理系2月7日実施MathJax

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$の漸近線を求めよ．必要なら$\underset{t\to \infty }{\lim }t{e}^{-t}=0$を用いてもよい．

(3)　$f^{\prime }(x)=0$を満たす実数解はちょうど$2$個あり，それらを$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <0<\beta \text{）}$とする．曲線$y=f(x)$の概形と(2)で求めた漸近線を解答欄の座標平面上にかけ．そのとき必要なら$\alpha \text{，}$$\beta$を用いてよい．ただし，曲線の凹凸は調べなくてもよい．

(4)　$x$軸と曲線$y=f(x)$とで囲まれた$2$つの部分の面積の和$S$を求めよ．

　座標平面と座標空間において，点の座標すべてが整数である点を格子点と呼ぶことにする．$m$を正の整数とする．座標平面において，$m=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots$に対して，連立不等式$x+y\leqq m\text{，}$$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0$で表される領域に含まれる格子点$(x,y)$の個数を$a_m$で表す．$m=1$のとき，$a_1$は$\boxed{\text{①}}$である．$x+y=m+1\text{，}$$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0$で表される線分上の格子点の個数は$\boxed{\text{②}}$個だから，$a_{m+1}$を$a_m$と$m$で表すと，$a_{m+1}=\boxed{\text{③}}$である．この漸化式から$a_m$を求めると，$a_m=\boxed{\text{④}}$である．

　$n$を正の整数とする．座標空間において，$x+y+z\leqq n\text{，}$$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{，}$$z\geqq 0$で定義された立体を$V_n$で表す．$0\leqq k\leqq n$である整数$k$に対して，$xy$平面と平行な平面$z=k$上の格子点であり，かつ$V_n$に含まれる格子点$(x,y,z)$の個数は$\boxed{\text{⑤}}$個である．よって$V_n$に含まれる格子点の個数$b_n$は$n$の$1$次式の積で表せて，$b_n=(n+1)\cdot \boxed{\text{⑥}}$であることがわかる．このとき

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{b_n}}={\displaystyle \frac{1}{b_1}}+{\displaystyle \frac{1}{b_2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{b_n}}+\cdots$

の値は$\boxed{\text{⑦}}$である．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を，$x$と$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　四面体$\mathrm{OABC}$の底面$\mathrm{ABC}$上の点を$\mathrm{S}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を，実数$s\text{，}$$t\text{，}$$u$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OS}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}$と表したとき，$s+t+u=1$を示せ．

(3)　直線$\mathrm{OR}$と四面体$\mathrm{OABC}$の底面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき実数$k$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OT}}=k\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と表すことができる．$k$を$x$を用いて表せ．さらに$x$が$0<x<1$の範囲を動くとき，$k$の最大値を求めよ．

$r(1+2\sin \theta )=3$

を直交座標$(x,y)$に関する方程式で表すと

$\boxed{\text{③}}{x}^2+{(y-2)}^2=1$

である．