2019　関西大　全学部日程文系学部2月8日実施MathJax

　放物線$y=x^2$の$\mathrm{A}$における接線$l$の方程式は$y=\boxed{\text{①}}$である．$\overrightarrow{n}=(\boxed{\text{②}},-1)$を$l$の法線ベクトルとする．$\mathrm{B}$を中心とし，$\mathrm{A}$で$l$に接する円を$C$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$も$l$の法線ベクトルであるので，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=k\overrightarrow{n}$を満たす実数$k$が存在する．円$C$の半径を$r$とすると，$a$と$k$を用いて

$p=\boxed{\text{③}}\text{，}$$q=\boxed{\text{④}}\text{，}$$r=\boxed{\text{⑤}}$

と表される．不等式$p^2<q$が成り立つような$k$の値の範囲は$\boxed{\text{⑥}}$である．また，円$C$が$\mathrm{A}$と異なる点でも放物線$y=x^2$と接するのは，$k=\boxed{\text{⑦}}$のときである．

　$s$を実数とし，$2$次方程式$x^2+sx+1=0$の解を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．$\alpha \beta =\boxed{\text{①}}$より，$\alpha +{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}=\boxed{\text{②}}$である．さらに，

${\alpha }^2+{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^2}}=\boxed{\text{③}}\text{，}$${\alpha }^4+{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^4}}=\boxed{\text{④}}$

である．$\alpha$が虚数であるとき，${\alpha }^4+{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^4}}$のとり得る値の範囲は

$\boxed{\text{⑤}}\leqq {\alpha }^4+{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^4}}\leqq \boxed{\text{⑥}}$

である．ここで，${\alpha }^4+{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^4}}=\boxed{\text{⑤}}$となるのは，$s=\boxed{\text{⑦}}$のときである．

(1)　$x^3-3x-2$を因数分解し，$x^3-3x-2>0$となるような$x$の値の範囲を求めよ．

(2)　$a$を$a>0\text{，}$$a\ne 1$を満たす定数とする．

${\log }_a(x^3-3x-2)-{\log }_{\sqrt{a}}(x+1)={\log }_{a}f(x)$

を満たす$f(x)$を求めよ．

(3)　$y>0\text{，}$$y\ne 1$とする．不等式

${\log }_y(x^3-3x-2)-{\log }_{\sqrt{y}}(x+1)>1$

の表す領域を解答欄の座標平面上に図示せよ．