2019　関西大　後期　文系学部3月4日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．ただし，$\boxed{\text{①}}$は式で，それ以外は数値でうめよ．

(1)　$t=\cos \theta$とおく．$\cos \theta -\cos 2\theta$を$t$で表すと$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$かつ$\cos \alpha -\cos 2\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとき，$\cos \alpha =\boxed{\text{②}}$であり，さらに，

$\cos 2\alpha =\boxed{\text{③}}\text{，}$${\sin }^2\alpha =\boxed{\text{④}}\text{，}$

$\cos 3\theta =\cos (2\alpha +\alpha )=\boxed{\text{⑤}}$

である．ここで，$\boxed{\text{③}}$と$\boxed{\text{⑤}}$を比較すると，$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{⑥}}}}$となる．

(3)　半径$1$の円に内接する正$\boxed{\text{⑥}}$角形の$1$辺の長さの$2$乗は，$\boxed{\text{⑦}}$である．

【２】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$の$5$つの文字を横$1$列に並べる．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$\mathrm{A}$が左端になる並べ方は$\boxed{\text{①}}$通りある．

(2)　$\mathrm{B}$が$\mathrm{A}$の右隣りになる並べ方は$\boxed{\text{②}}$通りある．

(3)　$\mathrm{B}$が$\mathrm{A}$の隣りでない並べ方は$\boxed{\text{③}}$通りある．

(4)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の問にちょうど$1$つの文字がある並べ方は$\boxed{\text{④}}$通りある．

(5)　最初に$\mathrm{ABCDE}$の順で並んでいたとき，ちょうど$3$つの文字が最初と同じ位置にあるような並べ替え方は$\boxed{\text{⑤}}$通りあり，ちょうど$2$つの文字が最初と同じ位置にあるような並べ替え方は$\boxed{\text{⑥}}$通りある．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　円$x^2+y^2=6$と放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+1$の交点のうち，第$1$象限にあるものを$\mathrm{P}$とし，第$2$象限にあるものを$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}$の座標は$\boxed{\text{①}}$であり，$\mathrm{Q}$の座標は$\boxed{\text{②}}$である．円$x^2+y^2=6$の$\mathrm{P}$における接線の方程式は$y=\boxed{\text{③}}$である．

　点$(x,y)$が連立不等式

$x^2+y^2\leqq 6\text{，}$$y\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+1$

が表す領域$D$を動くとき，$x+2y$の最大値は$\boxed{\text{④}}$であり，最小値は$\boxed{\text{⑤}}$である．また，$(x,y)$が同じ領域$D$を動くとき，$x+y$の最大値は$\boxed{\text{⑥}}$である．