2019　関西大　後期　総合情報学部3月4日実施MathJax

【１】　曲線$C\text{：}y=x^3-2x^2+2$と直線$l\text{：}y=x$の$3$つの交点を，それらの$x$座標が小さい順に${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$とする．次の問いに答えよ．

(1)　${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$の座標を求めよ．

(2)　$C$上の点$\mathrm{T}$$(t,t^3-2t^2+2)$における接線の方程式を求めよ．

(3)　${\mathrm{P}}_1$における接線と$C$の${\mathrm{P}}_1$とは異なる交点を${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$における接線と$C$の${\mathrm{P}}_2$とは異なる交点を${\mathrm{Q}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$における接線と$C$の${\mathrm{P}}_3$とは異なる交点を${\mathrm{Q}}_3$とする．このとき，${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_2\text{，}$${\mathrm{Q}}_3$が同一直線上にあることを示せ．

(4)　線分${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2$と$C$で囲まれた図形の面積を$S_1\text{，}$線分${\mathrm{Q}}_2{\mathrm{Q}}_3$と$C$で囲まれた図形の面積を$S_2$とするとき，$S_1:S_2$を求めよ．

【２】　空間内に$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$があり，どの$3$点も同一直線上にはないとする．次の問いに答えよ．

(1)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|}^2={\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|}^2$であれば，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は直交することを示せ．

(2)　(1)の関係式が成り立っており，さらに$\mathrm{\angle AOC}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|=\sqrt{5}$であるとする．$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{D}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{DC}}$となるようにとる．このとき，$\cos \mathrm{\angle BDC}$を求めよ．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．ただし，$n$は自然数とする．

(1)　${(x+3y^2)}^{10}$を展開したときの$x^8{y}^4$の係数は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=0}^n}{(-1)}^k{}_{n}C_k=\boxed{\text{②}}$である．

(3)　${29}^{30}$を$900$で割った余りは$\boxed{\text{③}}$である．

(4)　$x^n$を${(x-1)}^2$で割った余りは$\boxed{\text{④}}$である．

(5)　$x^n$を$x^2-1$で割った余りは$\boxed{\text{⑤}}$である．

(6)　$x^n$を$x^2+x+1$で割った余りは，$m$を任意の自然数としたとき，$n=3m$のときは$\boxed{\text{⑥}}$で，$n=3m+1$のときは$\boxed{\text{⑦}}$で，$n=3m+2$のときは$\boxed{\text{⑧}}$である．

【４】　次の関係式により数列$\{a_n\}$を定める．ただし，$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$である．

$(1+\sin \theta \cos \theta )a_1=\sin \theta \cos \theta$

また，$n\geqq 1$のとき，$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$とおくとき

$(1+\sin \theta \cos \theta )a_{n+1}=(1-2S_n)\sin \theta \cos \theta$

が成り立つ．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$a_2$を$\theta$を用いて表すと$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$と$\theta$を用いて表すと$\boxed{\text{②}}$である．

(3)　$S_n$を$\theta$と$n$を用いて表すと，$\boxed{\text{③}}$である．

(4)　$S_2={\displaystyle \frac{4}{9}}$となる$\theta$は$\boxed{\text{④}}$である．

(5)　$S_3={\displaystyle \frac{49}{125}}$となる$\theta$は$\boxed{\text{⑤}}$と$\boxed{\text{⑥}}$である．