2020　筑波大学　推薦理工学群工学システム学類MathJax

【１】　

問１　次の定積分の値を求めよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_1^2}{\displaystyle \frac{\log x}{x^2}}\mathit{dx}$

(2)　${\displaystyle {\int }_{-1}^3}{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{x^2-2x+5}}$

(3)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}|\sin x-\sin t|\mathit{dx}$ただし，$t$は$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす定数とする．

【１】

問２　点$\mathrm{P}$から曲線$C\text{：}y=2x^2$へ接線が$2$本引けるとき，その$2$つの接点を結ぶ線分と$C$とで囲まれる面積を$S$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$2$つの接点の$x$座標をそれぞれ$\alpha \text{，}$$\beta$とする．$\mathrm{P}$の座標を$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．ただし，$\alpha <\beta$とする．

(2)　$S$を$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{P}$が曲線$y=x^2+2x-2$上にあるとき，$S$を最小とする$\mathrm{P}$の$x$座標と，そのときの$S$の値を求めよ．

【２】

問１　$xyz$空間において，全ての辺の長さが$1$である四角錐$\mathrm{ABCDE}$を考える．ただし，$\mathrm{A}$$({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}},0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}},0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-{\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}},0)\text{，}$$\mathrm{D}$$({\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}},0)$とし，$\mathrm{E}$の$z$座標は正とする．また，四角錐$\mathrm{ABCDE}$に内接する球の中心を$\mathrm{P}$とする．さらに，辺$\mathrm{AE}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$辺$\mathrm{BE}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．なお，$0<t<1$である．以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

(2)　内接球の半径$r$を求めよ．

(3)　$S(t)=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}$を求めよ．また，$S(t)$のグラフを図示せよ．

【２】

問２　数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から$a_n$までの和を$S_n$とする．$n\geqq 1$に対して$S_n=1-(3n^2+2n-1)a_n$が成り立つとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$n\geqq 2$に対して，$a_n$を$a_{n-1}$および$n$で表せ．

(2)　$a_1\text{，}$$a_2$を求めよ．

(3)　一般項$a_n$を求めよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．