2020　宇都宮大学　共同教育学部数学分野推薦小論文MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$が，等式$a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=0$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を満たしているとする．$a_1=5\text{，}$$a_3=11$であるとき，次の問いに答えよ．

問１　$a_2$の値を求めよ．

問２　$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$は公比$2$の等比数列であることを示せ．

問３　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

問４　不等式$10\leqq {\displaystyle \frac{a_{3n}-a_n}{a_{2n}-a_n}}\leqq 1000$を満たすような自然数$n$の範囲を調べよ．

【２】　$3$次関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+1$は，$x=\alpha$で極小値をとり，$x=\beta$で極大値をとる．次の問いに答えよ．ただし，$a\text{，}$$b$は定数とする．

問１　$\alpha -\beta$を$a\text{，}$$b$の式で表せ．

問２　$f(\alpha )-f(\beta )$を$a\text{，}$$b$の式で表せ．

問３　$f(\alpha )-f(\beta )=-4$かつ$f(\alpha )+f(\beta )=2$を満たす$a\text{，}$$b$について調べ，$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

【３】　$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,1,8)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,1,10)\text{，}$$\mathrm{C}$$(2,-1,5)$を空間内の$4$点とし，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が定める平面を$\alpha$とする．$\mathrm{P}$を$\alpha$上の点とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$なす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

問２　実数$s\text{，}$$t$を$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$となるように定める．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$を$s\text{，}$$t$の式で表せ．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$s\text{，}$$t$の式で表せ．

問３　直線$\mathrm{OP}$が平面$\alpha$と直交するとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値について調べ，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

問１　中学校第１学年の数学では，比例を$y=ax$という式で定義する．このように比例を式で定義することのよさを簡単に説明せよ．

問２　小学校低学年の算数では，足し算や引き算を学習するときに，おはじきやブロックをよく用いる．こうした学習において，おはじきやブロックを用いることのよさを$400$字以内で述べよ．