2020　群馬大学　推薦教育学部小論文MathJax

【１】　半径$1$の円を$C$とする．$C$に外接する正多角形と内接する正多角形を考え，それぞれの面積の比較をしたい．そこで，$C$に外接する正$n$角形の面積を$T_n$とし，$C$に内接する正$n$角形の面積を$S_n$とする．

(1)　$C$に外接する正$12$角形の面積$T_{12}$が$12(2-\sqrt{3})$に等しいことを根拠とともに説明せよ．

(2)　$3$以上の自然数$n$に関して，$T_n\text{，}$$S_n$が次のように表されることを示せ．

$T_n=n{\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{\pi }{n}}}{\cos {\displaystyle \frac{\pi }{n}}}}\text{，}$$S_n=n\sin {\displaystyle \frac{\pi }{n}}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{n}}$

(3)　$C$に外接する正$2n$角形と内接する正$n$角形の面積比を考える．数列$\left\{{\displaystyle \frac{T_{2n}}{S_n}}\right\}$の極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{T_{2n}}{S_n}}$を求めよ．

【２】　$3$次関数と対数関数とを組み合わせて作られた次の関数を考える．

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+\log x^2$$\text{（}x\ne 0\text{）}$

(1)　正の実数$x$が不等式$\log x<x$を常に満たすということを根拠とともに説明せよ．

(2)　$x\to -\infty$のときの$f(x)$の値の極限，すなわち$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(3)　$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし，$y=f(x)$のグラフと直線$y=0$が共有点を持つ場合，その共有点の座標は求めなくてよい．

【３】　曲線$y=e^x$を$G$とする．$t$を実数とし，$G$上の点$\mathrm{P}$$(t,e^x)$における接線と点$\mathrm{Q}$$(t+1,e^{t+1})$における接線と$G$とで囲まれた図形の面積を$A(t)$と表す．自然数$n$について，${\displaystyle \frac{A(t+n)}{A(t)}}$を$n$の式で表せ．