2020　埼玉大学　後期（理，工学部）MathJax

(1)　$xy$平面内で不等式${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2\leqq 1$の表す領域上を点$(x,y)$が動くとする．$X={\displaystyle \frac{x}{2}}+y\text{，}$$Y={\displaystyle \frac{xy}{2}}$とおいたとき，点$(X,Y)$の動く領域を$XY$平面に描け．

(2)　$xy$平面内で不等式${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2\leqq 1$の表す領域上を点$(x,y)$が動くとする．このとき，$x+2y+xy$の最大値と最小値を求めよ．

$a_1>\sqrt{c}\text{．}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{c+a_n}{1+a_n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

以下$n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots$として，次の問いに答えよ．

(1)　$a_n>\sqrt{c}$ならば，$0<a_{n+1}<\sqrt{c}$であることを示せ．

(2)　$0<a_n<\sqrt{c}$ならば，$a_{n+1}>\sqrt{c}$であることを示せ．

(3)　$b_n=a_n-\sqrt{c}$とおくと，$b_{n+2}={\displaystyle \frac{{(1-\sqrt{c})}^2}{1+c+2a_n}}{b}_n$であることを示せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

(1)　$0$と書かれたカードを取り出すまでゲームを続けた場合，$N$枚目のカードを取り出してゲームが終了する確率を求めよ．ただし，$N=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$6$とする．

(2)　$0$と書かれたカードを取り出すまでゲームを続けた場合，それまでに$1$と書かれたカードを全て取り出している確率を求めよ．

（3)　ゲーム開始から$0$ではない数字の書かれたカードを$3$枚続けて取り出すことができ，その段階でゲームの終了を選択した．この場合，得点が$5$である条件付き確率を求めよ．

(4)　次の戦略に従いゲームを行うとき，実際に得点が$4$以上となる確率を求めよ．

戦略：$0$ではない数字の書かれたカードを取り出す限りゲームを続け，得点が初めて4以上となった段階でゲーム終了を選択する．

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{e^x-1}}$$\text{（}x>0\text{）}$

を考える．$a$を正の実数として，次の問いに答えよ．

(1)　$xy$平面内の直線$y={\displaystyle \frac{1}{a}}$と曲線$y=f(x)$の交点の$x$座標を$p(a)$とする．$p(a)<a$を示せ．

(2)　$xy$平面において，$4$個の点$(0,0)\text{，}$$(a,0)\text{，}$$(a,{\displaystyle \frac{1}{a}})\text{，}$$(0,{\displaystyle \frac{1}{a}})$を頂点とする四角形と，領域$\{(x,y)|y\leqq f(x)\}$との共通部分の面積$S(a)$を求めよ．

(3)　$\underset{a\to \infty }{\lim }S(a)$を求めよ．必要なら$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log (x+1)}{x}}=0$を用いてよい．

(4)　$\underset{a\to +0}{\lim }S(a)$を求めよ．