2020　東京医科歯科大学　前期MathJax

【１】　$N$を自然数として，表と裏が等確率で出るコインを$N$回投げる試行を考え，この試行の結果によって関数$f(x)$を次のように定義する．

　このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$N=8$のとき，試行の結果が「表，表，裏，裏，表，裏，裏，裏」の順となったとき，$f(x)$のグラフを描け．

(2)　自然数$N$と$0$以上の整数$k$について，$f(x)$が極値をとる点の個数が$k$となる確率を$P(k)$とする．$P(k)$を$N\text{，}$$k$を用いて表せ．

(3)　自然数$N$と$0$以上の整数$k$について，$f(x)$が極大となる点の個数が$k$となる確率を$Q(k)$とする．$Q(k)$を$N\text{，}$$k$を用いて表せ．

(4)　(3)の$Q(k)$について${\displaystyle \sum _{k=0}^N}kQ(k)$を$N$を用いて表せ．

【２】　$a$を正の実数，$m$を実数とし，$k_1=m+\sqrt{m^2+1}\text{，}$$k_2=m-\sqrt{m^2+1}$とする．さらに，$C_0\text{，}$$C_1\text{，}$$C_2$を複素数平面上でそれぞれ

$C_0\text{：}(m+i)z+(m-i)\bar{z}+2a=0$

$C_1\text{：}(k_1+i)z+(k_1-i)\bar{z}-2a{k_1}^2=0$

$C_2\text{：}(k_2+i)z+(k_2-i)\bar{z}-2a{k_2}^2=0$

を満たす点$z$の集合とする．ここで，$i$は虚数単位，$\bar{z}$は$z$と共役な複素数を表す．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$C_0\text{，}$$C_1\text{．}$$C_2$がいずれも直線であることを示せ．

(2)　$C_0$と$C_1$の共有点を${\mathrm{P}}_1$とし，$m$を変化させたとき${\mathrm{P}}_1$が描く曲線を$F_1$とする．$F_1$はどのような曲線か．$a$を用いて答えよ．

(3)　$m>0$のとき，$C_1\text{，}$$C_2$と虚軸で囲まれる領域の面積を$T$とし，(2)の$F_1$と$C_1\text{，}$$C_2\text{，}$虚軸で囲まれる領域の面積を$S$とする．${\displaystyle \frac{T}{S}}$が$a$によらず一定であることを示し，その極限値$\underset{m\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{T}{S}}$を求めよ．

【３】　$t$を正の実数とし，$xyz$空間において，$7$つの点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,1)\text{，}$$\mathrm{P}$$(t,1,0)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(0,t,1)\text{，}$$\mathrm{R}$$(1,0,t)$をとる．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$t=1$のとき，四面体$\mathrm{OPQR}$の体積を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵PQR}\text{，}$$\mathrm{▵APR}\text{，}$$\mathrm{▵BQP}\text{，}$$\mathrm{▵CRQ}$および$xy$平面，$yz$平面，$zx$平面で囲まれる領域の体積を$V_1$とする．$V_1$を$t$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{O}$を中心とし，$\mathrm{OP}$を半径とする球の体積を$V_2$とする．$t$を変化させるとき，${\displaystyle \frac{V_1}{V_2}}$が最大となる$t$の値を求めよ．

【１】　$N$を自然数として，表と裏が等確率で出るコインを$N$回投げる試行を考え，この試行の結果によって関数$f(x)$を次のように定義する．

　また，$0$以上の整数$k$について，$f(x)$が極値をとる点の個数が$k$となる確率を$P(k)$とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$N=6$のとき，試行の結果が「裏，表，表，裏，裏，裏」の順となったとき，$f(x)$のグラフを描け．

(2)　$N=6$のとき，$P(1)\text{，}$$P(2)\text{，}$$P(3)$を求めよ．

(3)　自然数$N$と$0$以上の整数$k$について，$P(k)$を$N\text{，}$$k$を用いて表せ．

(4)　${\displaystyle \sum _{k=0}^N}kP(k)$を$N$を用いて表せ．

【２】　$a$を正の実数，$m$を実数とし，$k_1=m+\sqrt{m^2+1}\text{，}$$k_2=m-\sqrt{m^2+1}$とする．さらに，$C_0\text{，}$$C_1\text{，}$$C_2$を複素数平面上でそれぞれ

$C_0\text{：}(m+i)z+(m-i)\bar{z}+2a=0$

$C_1\text{：}(k_1+i)z+(k_1-i)\bar{z}-2a{k_1}^2=0$

$C_2\text{：}(k_2+i)z+(k_2-i)\bar{z}-2a{k_2}^2=0$

を満たす点$z$の集合とする．ここで，$i$は虚数単位，$\bar{z}$は$z$と共役な複素数を表す．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$C_0\text{，}$$C_1\text{．}$$C_2$がいずれも直線であることを示せ．

(2)　$C_1$と$C_2$の共有点を$\mathrm{Q}$とする，$\mathrm{Q}$を表す複素数を$a\text{，}$$m$を用いて表せ．また，$C_1$と$C_2$が直交することを示せ．

(3)　$C_0$と$C_1$の共有点を${\mathrm{P}}_1$とし，$m$を変化させたとき${\mathrm{P}}_1$が描く曲線を$F_1$とする．$F_1$はどのような曲線か．複素数平面上に図示せよ．