2020　東京学芸大学　前期MathJax

【１】 整式$f(x)$を$g(x)=x^3+7x^2+14x+8$で割ると，余りが${\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^2+3x+{\displaystyle \frac{7}{3}}$である．$h(x)=22x^3+32x^2+3$に対して，$h(f(x))$を$g(x)$で割った余りを$r(x)$とする．下の問いに答えよ．

(1)　方程式$r(x)=0$は異なる$2$つの解をもつことを示せ．

(2)　(1)の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とするとき，${\alpha }^{10}+{\beta }^{10}$の値を求めよ．

【２】　$xy$平面上で，点$\mathrm{F}$$(1,0)$を焦点，直線$x=-1$を準線とする放物線を$C$とする．その準線上の点$\mathrm{A}$に対し，線分$\mathrm{AF}$の垂直二等分線を$l$とするとき，下の問いに答えよ．

(1)　直線$l$は放物線$C$に接することを示せ．

(2)　直線$l$と放物線$C$との接点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{A}$が$(-1,0)$でないとき，三角形$\mathrm{AFP}$が直角三角形となるような点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{2}{1+e^x}}$について下の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(2)　$0\leqq x\leqq 1$を満たすすべての$x$に対して，不等式

$1+ax\leqq f(x)\leqq 1+bx$

が成り立つような$a$の最大値と$b$の最小値を求めよ．

【４】 連続関数$f(x)$が

$f(x)=e^{-x}\sin x-{\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\sin (t-x)\mathit{dt}$

を満たすとき，下の問いに答えよ．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }{e}^{-x}\sin x\mathit{dx}\text{，}$${\displaystyle \int }{e}^{-x}\cos x\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　$f(x)$を求めよ．