2020　東京農工大学　後期工学部MathJax

【１】　複素数平面上に，一直線上にない$3$点$\mathrm{O}(0)\text{，}$$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )$をとり，点$\mathrm{C}(\alpha +\beta )$をとる．線分$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{E}$とする．次の問いに答えよ．

［1］(1)　$s$は実数で，$0<s<1$を満たすとする．線分$\mathrm{BD}$を$s:(1-s)$に内分する点を表す複素数を$\gamma$とするとき，$\gamma$を$s\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta$で表せ．

(2)　$t$は実数で，$0<t<1$を満たすとする．線分$\mathrm{CE}$を$t:(1-t)$に内分する点を表す複素数を$\delta$とするとき，$\delta$を$t\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta$で表せ．

［2］　点$\mathrm{F}(z)$が線分$\mathrm{BD}$と線分$\mathrm{CE}$の交点であるとき，$z$を$\alpha \text{．}$$\beta$を用いて表せ．

［3］　線分$\mathrm{BD}$と線分$\mathrm{CE}$の交点$\mathrm{F}$に対して，$\mathrm{▵EOD}$と$\mathrm{▵BFC}$が相似であるとする．

(1)　${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}$のとり得る値をすべて求めよ．

(2)　相似比${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{ED}}}$の値と$\cos \mathrm{\angle BCE}$の値を求めよ．

【２】　$xy$平面において，媒介変数表示

$x={\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2\theta \text{，}$$y=\cos 2\theta +20\cos \theta +19$$(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

で表される曲線を$C$とする．次の問いに答えよ．

［1］　点$\mathrm{P}$は曲線$C$上の点であって，$\mathrm{P}$の$x$座標は$0$でないとする．点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線が原点を通るとき，$\mathrm{P}$の座標とその接線の方程式を求めよ．

［2］　曲線$C$と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．