2020　一橋大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　${10}^{10}$を$2020$で割った余りを求めよ．

(2)　$100$桁の正の整数で各位の数の和が$2$となるもののうち，$2020$で割り切れるものの個数を求めよ．

【２】　$a$を定数とし，$0\leqq \theta <\pi$とする．方程式

$\tan 2\theta +a\tan \theta =0$

を満たす$\theta$の個数を求めよ．

【３】　半径$1$の円周上に$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がある．内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の最大値と最小値を求めよ．

【４】　$x>0$に対し

$F(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}{\displaystyle {\int }_{2-x}^{2+x}}|t-x|\mathit{dt}$

と定める．$F(x)$の最小値を求めよ．

【５】　$n$を正の整数とする．$1$枚の硬貨を投げ，表が出れば$1$点，裏が出れば$2$点を得る．この試行を繰り返し，点の合計が$n$以上になったらやめる．点の合計がちょうど$n$になる確率を$p_n$で表す．

(1)　$p_1\text{，}$$p_2\text{，}$$p_3\text{，}$$p_4$を求めよ．

(2)　$|p_{n+1}-p_n|<0.01$を満たす最小の$n$を求めよ．