2020　横浜国立大学　後期MathJax

2020-10301-0201

2020　横浜国立大学　後期

経済，経営学部

易□　並□　難□

【１】　実数 $a ，$ $b$ は $a^{2} + b^{2} < 1$ をみたす． $x, y$ 平面上に，点 $(a, b)$ を中心とする半径 $1$ の円 $C$ がある．また， $C$ と $x$ 軸との交点を $P_{1}$ $(x_{1}, 0) ，$ $P_{2}$ $(x_{2}, 0)$ とし， $C$ と $y$ 軸との交点を $Q_{1}$ $(0, y_{1}) ，$ $Q_{2}$ $(0, y_{2})$ とする．ただし， $x_{1} > x_{2}$ かつ $y_{1} > y_{2}$ とする．次の問いに答えよ．

(1)　 $x_{1} ，$ $x_{2} ，$ $y_{1} ，$ $y_{2}$ を $a ，$ $b$ の式で表せ．

(2)　 ${(P_{1} Q_{1})}^{2} + {(P_{2} Q_{2})}^{2}$ を求めよ．

(3)　 $P_{1} Q_{1} + P_{2} Q_{2}$ を最大にする点 $(a, b)$ の存在範囲を $a, b$ 平面上に図示せよ．

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経済，経営，理工学部

易□　並□　難□

【２】　素数 $p$ に対して，

$S = \sum_{k = 1}^{p - 1} k ，$ $T = \sum_{k = 1}^{p - 1} k^{2}$

と定める．次の問いに答えよ．

(1)　 $S$ を $p$ で割ったときの余りを求めよ．

(2)　 $T$ を $p$ で割ったときの余りを求めよ．

(3)　以下の性質(＊)が成り立たない素数 $p$ をすべて求めよ．

(＊)　すべての整数 $a ，$ $b ，$ $c$ に対して， $\sum_{k = 1}^{p - 1} (a k^{3} + b k^{2} + c k)$ は $p$ で割り切れる．

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経済，経営学部

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【３】　 $1 ，$ $2 ，$ $3 ，$ $4 ，$ $5 ，$ $6$ の目が等しい確率で出るさいころが $4$ 個と $3 ，$ $4 ，$ $5 ，$ $6 ，$ $7 ，$ $8$ の目が等しい確率で出るさいころが $2$ 個ある．これらの $6$ 個のさいころを同時に $1$ 回投げるとき，出る目が，次の(1)，(2)，(3)となる確率をそれぞれ求めよ．

(1)　 $3 ，$ $4 ，$ $5 ，$ $6 ，$ $7 ，$ $8$ の目がすべて出る．

(2)　 $1 ．$ $2 ．$ $3 ，$ $4 ，$ $5 ，$ $6$ の目がすべて出る．

(3)　 $1 ，$ $3 ，$ $4 ，$ $5 ，$ $8$ の目がすべて出て， $2 ，$ $6 ，$ $7$ の目はいずれも出ない．

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2020　横浜国立大学　後期

経済，経営学部

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【４】　 $x, y$ 平面において，不等式

$0 ≦ y ≦ - \frac{5}{2} x^{2} + 14 x + \frac{3}{2} | x^{2} - 4 x |$

の表す領域を $D$ とする．次の問いに答えよ．

(1)　 $D$ を図示せよ．

(2)　 $a$ を正の実数とする．点 $(x, y)$ が $D$ を動くとき， $a x + y$ の最大値を $a$ の式で表せ．

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2020　横浜国立大学　後期

理工，都市科学部

易□　並□　難□

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　関数 $f (x) = e^{- x} (x^{2} + 2 x - 1)$ に対して， $x, y$ 平面上の曲線 $y = f (x)$ を $C$ とする．関数 $f (x)$ の増減，極値， $C$ の凹凸，変曲点を調べ， $C$ の概形を描け．

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2020　横浜国立大学　後期

理工，都市科学部

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【１】　次の問いに答えよ．

(2)　定積分

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} (\cos 3 x) (\sin 2 x) (\tan x) dx$

を求めよ．

2020-10301-0207

2020　横浜国立大学　後期

理工，都市科学部

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2020年横浜国立大後期理工，都市科学部【３】2020103010207の図

【３】　 $4$ つの点 $A ，$ $B ，$ $C ，$ $D$ を辺で結んだ図に対して，以下の操作(＊)を考える．

$1$ 個のさいころを $5$ 回投げ，出た目に応じて，次のように辺に色をぬる．

　 $n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ，$ $4 ，$ $5$ に対して，

	$n$ 回目に出た目が $1 ，$ $2$ のとき，辺 $n$ を青くぬる．
	$n$ 回目に出た目が $3 ，$ $4 ，$ $5 ，$ $6$ のとき，辺 $n$ を白く塗る．

　次の問いに答えよ．

(1)　操作(＊)を一度行うとき，青い辺のみをたどって， $A$ から $D$ に到達できる図になる確率を求めよ．

(2)　操作(＊)を一度行うとき，青い辺のみをたどって， $A$ から $C$ に到達できる図になる確率を求めよ．

2020-10301-0208

2020　横浜国立大学　後期

理工，都市科学部

易□　並□　難□

【４】　 $m$ を正の実数とする． $x, y$ 平面において，不等式

$0 ≦ y ≦ - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x$

の表す領域を $D$ とし，不等式

$0 ≦ y ≦ - 2 x^{2} + 12 x$

の表す領域を $E$ とする．次の問いに答えよ．

(1)　点 $(x, y)$ が $D$ を動くとき， $m x + y$ の最大値を $m$ の式で表せ．

(2)　 $D$ と $E$ の和集合を $F$ とする．点 $(x, y)$ が $F$ を動くとき， $m x + y$ の最大値を $m$ の式で表せ．

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理工，都市科学部

易□　並□　難□

【５】　 $t$ を実数とする． $x, y$ 平面上に曲線 $C ： y = \frac{3}{2} x^{2}$ と点 $A$ $(1, \frac{11}{6})$ がある． $A$ を通る傾き $t$ の直線 $l$ を考える． $C$ と $l$ の交点を $P ，$ $Q$ とし，その $x$ 座標をそれぞれ $α ，$ $β$ （ただし $α < β$ ）とする．次の問いに答えよ．

(1)　 $α + β ，$ $α β$ を，それぞれ $t$ の式で表せ．

(2)　 $α ，$ $β$ を $t$ の関数とみて，その導関数をそれぞれ $\frac{dα}{dt} ，$ $\frac{dβ}{dt}$ と表す． $\frac{dα}{dt} = \frac{2 (1 - α)}{3 (β - α)}$ および $\frac{dβ}{dt} = \frac{2 (β - 1)}{3 (β - α)}$ を示せ．

(3)　 $C$ において， $α ≦ x ≦ β$ の範囲にある部分の長さを $L$ とする． $t$ が実数全体を動くとき， $L$ を最小にする $t$ の値を求めよ．