2020　新潟大学　推薦理学部数学プログラムMathJax

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易□　並□　難□

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　不等式 $| x - 1 | + 2 < | 2 x - 3 |$ を解け．

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易□　並□　難□

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　赤玉 $5$ 個，青玉 $4$ 個，白玉 $3$ 個が入っている袋から，同時に $2$ 個の玉を取り出すとき， $2$ 個とも同じ色である確率を求めよ．

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易□　並□　難□

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　 $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ のとき，関数 $f (x) = - 2 (\sin x - \cos x) + 4 \sin x \cos x$ の最大値，最小値を求めよ．

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易□　並□　難□

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　 $x^{3} = 1$ を満たす虚数解の $1$ つを $ω$ とするとき， $\frac{ω^{2019} + ω^{1123} - ω^{5}}{ω + 1}$ の値を求めよ．

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【２】　点 $O$ を原点とする座標空間に， $3$ 点 $A$ $(1, 1, - 1) ，$ $B$ $(2, 1, 0) ，$ $C$ $(2, 2, - 1)$ がある．点 $A$ を通り，直線 $BC$ に平行な直線上の点で原点からの距離が最小となる点を $D$ とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点 $D$ の座標を求めよ．

(2)　 $2$ つの直線 $AB$ と $CD$ の交点の座標を求めよ．

(3)　直線 $CD$ 上の点 $E$ で， $\vec{OD}$ と $\vec{OE}$ のなす角が $\vec{OA}$ と $\vec{OD}$ のなす角と等しくなる点 $E$ の座標をすべて求めよ．

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【３】　関数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$ について，次の問いに答えよ．

(1)　導関数 $f^{'} (x)$ を求めよ．

(2)　第 $2$ 次導関数 $f^{″} (x)$ を求めよ．

(3)　 $y = f (x)$ のグラフの概形をかけ．

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【４】　数列 ${a_{n}}$ を $a_{1} = 2 ，$ $a_{n + 1} = \frac{4 a_{n} + 1}{2 a_{n} + 5}$ で定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　数列 ${b_{n}}$ を $b_{n} = \frac{a_{n} - α}{a_{n} - β}$ で定め， ${b_{n}}$ が等比数列となるような $α ，$ $β$ を求めよ．ただし， $α > β$ とする．

(2)　(1)で定めた等比数列 ${b_{n}}$ の一般項を求めよ．

(3)　数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

(4)　極限 $\lim_{n \to \infty} a_{n}$ を求めよ．

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