2020　長岡技術科学大学　前期MathJax

【１】　関数$f(x)=e^{2x}-3e^x+2$を考える．曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる部分を$D$とする．下の問いに答えなさい．

(1)　$x$の方程式$f(x)=0$を解きなさい．

(2)　関数$f(x)$の極値を求めなさい．

(3)　$y=f(x)$の概形を描きなさい．

(4)　$D$の面積$S$を求めなさい．

【２】　数直線上の動点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が，次の規則に従って移動している．ただし，$n$は$0$以上の整数とする．

規則：時刻$n$における動点の座標が$x$（$x$は整数）のとき，時刻$n+1$における動点の座標は，それぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で$x+1$または$x-1$のいずれかとなる．

時刻$0$で$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$がともに原点にあるものとする．時刻$n$で$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が同じ座標にある確率を$p_n$とするとき，下の問いに答えなさい．

(1)　$p_1\text{，}$$p_2\text{，}$$p_3$を求めなさい．

(2)　$n\geqq 1$のとき，$p_n$を$n$で表しなさい．ただし，必要なら和の記号${\displaystyle \sum }$や，組合せの総数を表す記号${}_{m}C_r$を用いて表してもよい．

【３】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d\text{，}$$e\text{，}$$f$を整数とする．下の問いに答えなさい．

(1)　方程式

$5a+3b=1\text{，}$$7c+15d=1$

を満たす$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を$1$組求めなさい．

(2)　前問(1)で求めた$d$に対して，方程式

$35e+21f+15d=1\cdots$(＊)

を満たす$e\text{，}$$f$を$1$組求めなさい．

(3)　$n\text{，}$$x\text{，}$$y\text{，}$$z$は整数で，$0\leqq x<3\text{，}$$0\leqq y<5\text{，}$$0\leqq z<7$を満たすとする．方程式(＊)を満たす$e\text{，}$$f\text{，}$$d$に対し，

$n=35ex+21fy+15dz\cdots$(＊＊)

とおくとき，$n$を$3$で割った余りは$x$であり，$5$で割った余りは$y$であり，$7$で割った余りは$z$であることを示しなさい．

(4)　$3$で割ると余りが$2$であり，$5$で割ると余りが$3$であり，$7$で割ると余りが$4$である整数$m$を全て求めなさい．

【４】　平面上の$4$点を${\mathrm{P}}_1$$(0,0)\text{，}$${\mathrm{P}}_2$$(5,2)\text{，}$${\mathrm{P}}_3$$(3,4)\text{，}$${\mathrm{P}}_4$$(0,3)$とする．また，ベクトル$\overrightarrow{s}=(u,v)$に対して${(\overrightarrow{s})}^{*}=(-v,u)$と定義し，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_3}-{(\overrightarrow{{\mathrm{P}}_4{\mathrm{P}}_2})}^{*}\text{，}$$\overrightarrow{q}={(\overrightarrow{p})}^{*}$とおく．下の問いに答えなさい．

(1)　${\left|\overrightarrow{p}\right|}^2\text{，}$${\left|\overrightarrow{q}\right|}^2\text{，}$$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}$の値を求めなさい．

(2)　$x_1\text{，}$$y_1\text{，}$$x_2\text{，}$$y_2$を実数として，

$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_3}=x_1\overrightarrow{p}+y_1\overrightarrow{q}\text{，}$$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_4{\mathrm{P}}_2}=x_2\overrightarrow{p}+y_2\overrightarrow{q}$

とおく．$x_1\text{，}$$y_1\text{，}$$x_2\text{，}$$y_2$の値を求めなさい．

(3)　次の条件を満たす正方形の一辺の長さを求めなさい．

条件：各辺がそれぞれ${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}$${\mathrm{P}}_4$を通り，${\mathrm{P}}_1$を通る辺が$\overrightarrow{p}$に平行であり，${\mathrm{P}}_4$を通る辺が$\overrightarrow{q}$に平行である．