2020　富山大学　後期理学部数学科MathJax

【１】　関数

$f(x)=2^x-2x$

を考える．このとき，次の問いに答えよ．ただし，必要ならば，自然対数の底$e$は$2<e<3$であることを使ってもよい．

(1)　${\log }_{e}2$と${\displaystyle \frac{1}{2}}$の大小を比較せよ．

(2)　$x\geqq 2$における$f(x)$の増減を調べよ．

(3)　$f\left({\displaystyle \frac{10}{3}}\right)$と$4$の大小を比較せよ．

(4)　$f(\pi )$と$4$の大小を比較せよ．

【２】　$0\leqq x\leqq \pi$で，$2$つの関数

$f(x)={\cos }^{2}x+\cos x+1\text{，}$$g(x)={\sin }^{2}x+\cos x+1$

を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．ただし，$f(x)$の凹凸を調べる必要はない．

(2)　曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$との交点の$x$座標を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．ただし，$\alpha <\beta$とする．$\alpha \text{，}$$\beta$を求めよ．

(3)　$\alpha \leqq x\leqq \beta$において，曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$とで囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．ただし，$\alpha \text{，}$$\beta$は(2)で求めたものとする．

【３】　$xy$平面上の原点を$\mathrm{O}$$(0,0)$として，$2$点$\mathrm{A}$$(4,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,3)$を考える．$xy$平面上の点$\mathrm{P}$は，その位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$s\geqq 0\text{，}$$t\geqq 0\text{，}$$s+t\leqq 1$をみたしながら動くとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E$とする．$E$を$xy$平面上に図示せよ．

(2)　点$\mathrm{C}$$(2,5)$と$E$内の点$\mathrm{P}$との距離の$2$乗を$h$とする．$h$を$s$と$t$の式で表せ．

(3)　$s$を$0\leqq s\leqq 1$に固定する．$h$を$0\leqq t\leqq 1-s$における$t$の関数と考えたときの，$h$の最小値を$m(s)$とする．$m(s)$を$s$の式で表せ．

(4)　$E$内の点で，$h$が最小となる点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．