2020　福井大学　後期MathJax

【１】　自然数$n$に対し，$x$に関する$2$次方程式

$x^2-{\displaystyle \frac{2{(n+1)}^2}{n(n+2)}}x+1=0$

の解を$a_n\text{，}$$b_n$（ただし，$a_n\geqq b_n$）とする．数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和をそれぞれ$S_n\text{，}$$T_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　積$a_n{b}_n$を求めよ．また，和$a_n+b_n$を$n$を用いて表せ．

(2)　$S_n+T_n$を用いて表せ．

(3)　$a_{n+1}{T}_n+b_{n+1}{S}_n\geqq 2\sqrt{T_n{S}_n}$が成り立つことを示せ．

(4)　$S_n{T}_n\geqq n^2$が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

【２】　$xyz$空間において，$3$点$\mathrm{A}$$(a,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,b,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,1)$を通る平面を$\alpha$とおく．ただし，$a\text{，}$$b$は正の定数とする．$xy$平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$S$とする．また，$xy$平面上で$\mathrm{O}$を中心として半直線$\mathrm{OA}$を一般角$\theta$だけ回転した半直線と$S$との交点を$\mathrm{P}$とおく．ここで，回転の向きは，$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき$\mathrm{P}$の座標が$(0,1,0)$となるように定める．$\mathrm{P}$を通り$xy$平面に垂直な直線と$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{Q}$の$z$座標を$f(\theta )$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$f(\theta )$を$\theta \text{，}$$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(3)　$f(\theta )$が最大値をとる$\theta$に対して，$\sin \theta$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

【３】　関数$f(x)=x\sqrt{1-x^2}+x$$\text{（}-1\leqq x\leqq 1\text{）}$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)\geqq 0$となる$x$の範囲を求めよ．

(2)　$f(x)$の増減を調べ，$f(x)$の極値を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=1$で囲まれる図形$D$の面積を求めよ．

(4)　(3)の図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【４】　赤色，青色のサイコロが$1$つずつある．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人で，以下の規則に従って，どちらかがこの$2$つのサイコロを同時に投げる，という試行を行う．ただし，$1$回目の試行では，$\mathrm{A}$がサイコロを投げるものとする．

$n$回目の試行で，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$がサイコロを投げる確率をそれぞれ$p_n\text{，}$$q_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$1$回目で試行が終了する確率を求めよ．

(2)　$p_2\text{，}$$q_2$を求めよ．

(3)　$p_{n+1}\text{，}$$q_{n+1}$を，それぞれ$p_n\text{，}$$q_n$を用いて表せ．

(4)　$p_n-q_n$を$n$を用いて表せ．

(5)　$p_n\text{，}$$q_n$を，それぞれ$n$を用いて表せ．