2020　三重大学　後期教育・工学部MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$2$点$\mathrm{A}$$(-3,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,4)$を通る直線上の点で，原点に最も近い点$\mathrm{P}$の座標，および$\mathrm{P}$と原点との距離を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　$\sin \theta +\cos \theta =-{\displaystyle \frac{2}{3}}$のとき$\sin 2\theta -\sin \theta -\cos \theta$の値を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　$a_n=3n-1\text{，}$$b_n=5n-1$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とする．$\{a_n\}$に現れ$\{b_n\}$に現れない数のうち，$300$以下のものの合計を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(4)　$(1+\sqrt{3}i){(\sqrt{3}-i)}^n$が純虚数となる最小の自然数$n$を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(5)　極方程式$r=1+\cos \theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$で表される曲線$C$を考える．$x$座標が最小となる$C$上の点$(x,y)$をすべて求めよ．

【２】　$k\text{，}$$t$を実数とする．$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(0,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(t,4t-1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(t,k{2}^t)$とし，$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$t$と$k$を用いて表せ．

(2)　$t=1$のとき$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OP}}$となる$k$を求めよ．

(3)　$k=2$のとき$\overrightarrow{\mathrm{AC}}⫽\overrightarrow{\mathrm{OP}}$となる正の数$t$を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　$t=\sqrt{x^2+1}+x$とおくとき，$t>0$を示せ．また$x$および$\sqrt{x^2+1}$を$t$を用いて表せ．

(2)　${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k^2+n^2}}}$を求めよ．