2020　滋賀医科大学　前期MathJax

【１】　$2$つの関数

$f(x)=x{e}^x$

$g(t)={\displaystyle {\int }_{-1}^2}|t-f(x)|\mathit{dx}$

を考える．区間$-1\leqq x\leqq 2$における$f(x)$の最小値を$m\text{，}$最大値を$M$とする．

(1)　$m\text{，}$$M$を求めよ．

(2)　$t$が実数全体を動くとき，$g(t)$を最小にする$t$の値と，$g(t)$の最小値を求めよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_m^M}g(t)\mathit{dt}$を求めよ．

【２】　$a\text{，}$$b$を異なる正の実数とする．次で表される$xy$平面上の円$C$と楕円$E$を考える．

$C\text{：}{x}^2+y^2=a^2+b^2$

$E\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$

$C$上の点$\mathrm{A}$から$E$に引いた$2$本の接線が$C$と再び交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．

(1)　$\mathrm{AP}\perp \mathrm{AQ}$を示せ．

(2)　$\mathrm{A}$が$C$上を動くとき，$\mathrm{▵APQ}$の面積を最大，最小にする$\mathrm{A}$の座標をそれぞれ求めよ．

【３】　$i$は虚数単位とする．実数$t$に対して，複素数

$w={\displaystyle \frac{1}{1+ti}}$

を考える．$w$の偏角を$\theta (t)$$\text{（}-\pi \leqq \theta (t)<\pi \text{）}$とする．

(1)　$t$が実数全体を動くとき，複素数平面上の点$w$の描く図形を図示せよ．

(2)　$\underset{t\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin \theta (t)}{t}}$を求めよ．

(3)　$\underset{t\to 0}{\lim }{(\cos \theta (t))}^{\frac{1}{t^2}}$を求めよ．

【４】　$k$を正の整数とし，$k$以下の正の整数全体の集合を$U$とする．すなわち，$U=\{1,\cdots ,k\}$である．$U$の部分集合$A$と$U$の要素$x$に対して$f_A(x)$を，$x\in A$ならば$f_A(x)=1\text{，}$$x\notin A$ならば$f_A(x)=0$と定める．例えば$k=3\text{，}$$A=\{2,3\}$のとき，$f_A(1)=0\text{，}$$f_A(2)=1\text{，}$$f_A(3)=1$である．また，$U$の部分集合$A$に対して，$A$の要素の個数を$n(A)$で表す．

(1)　$A\text{，}$$B$を$U$の部分集合，$\bar{A}$を$U$に関する$A$の補集合とする．

$f_{\bar{A}}(x)=1-f_A(x)\text{，}$$f_{A\cap B}(x)=f_A(x)f_B(x)$

を示せ．

(2)　$A$を$U$の部分集合とする．$n(A)$を$f_A(1)\text{，}$$\cdots \text{，}$$f_A(k)$すべてを用いて表せ．

(3)　$A_1\text{，}$$A_2\text{，}$$A_3\text{，}$$A_4$を$U$の部分集合，$A_1\text{，}$$A_2\text{，}$$A_3\text{，}$$A_4$の少なくとも一つに属する要素全体の集合を$P$とする．

$f_P(x)$$=1-(1-f_{A_1}(x))(1-f_{A_2}(x))(1-f_{A_3}(x))(1-f_{A_4}(x))$

を示せ．

(4)　(3)の$A_1\text{，}$$A_2\text{，}$$A_3\text{，}$$A_4$と$P$について考える．整数$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$から異なる$p$個を選んで$i_1\text{，}$$\cdots \text{，}$$i_p$とし，$A_{i_1}\text{，}$$\cdots \text{，}$$A_{i_p}$のどれにも属する要素全体の集合$S$をつくる．$i_1\text{，}$$\cdots \text{，}$$i_p$の選び方${}_{4}C_p$通りをすべて考え，それぞれが定める集合$S$を任意に並べて$S_1^{(p)}\text{，}$$\cdots \text{，}$$S_{{}_{4}C_p}^{(p)}$とおく．さらに，$s(p)={\displaystyle \sum _{i=1}^{{}_{4}C_p}}n(S_i^{(p)})$とする．このとき，$n(P)=s(1)-s(2)+s(3)-s(4)$を示せ．