2020　京都大学　特色入試総合人間学部MathJax

【１】　ブラマンジェという型にはめて作るフランス由来のお菓子がある．ここではブラマンジェが，区間$0\leqq x\leqq 1$上の関数

$y={\displaystyle \sum _{n=0}^N}{\displaystyle \frac{s(2^{n}x)}{2^n}}$

のグラフと$x$軸で囲まれた領域を直線$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$の周りに$1$回転してできる立体として与えられているとする．ただし，ここで$N$は自然数，$s(x)$は$x$から最も近い整数までの距離とする．

(1) ブラマンジェの体積を計算し，$N$を用いて表せ．

(2) (1)で求めた体積の$N\to \infty$の極限を求めよ．

ただし，計算の際にパップス・ギュルダンの定理を証明無しに使ってもよい．ここでパップス・ギュルダンの定理とは次のものである：

面積$S$の平面図形$A$が，それと同一平面上の直線$l$の一方の側（直線$l$を含む）のみにあるとき，その図形$A$を直線$l$の周りに$1$回転させてできる立体の体積は，$(\text{回転による}A\text{の重心の移動距離})\times S$となる．

また面積$S$の平面図形$A$が，区間$a\leqq x\leqq b$上で$\phi (x)\leqq \varphi (x)$となる連続関数$\phi (x)\text{，}$$\varphi (x)$を用いて$A=\{(x,y)|a\leqq x\leqq b\text{，}$$\phi (x)\leqq y\leqq \varphi (x))$と表せたとき，$A$の重心の座標は

$({\displaystyle \frac{1}{S}}{\displaystyle {\int }_a^b}(\varphi (x)-\phi (x))x\mathit{dx},{\displaystyle \frac{1}{S}}{\displaystyle {\int }_a^b}{\displaystyle \frac{{\varphi (x)}^2-{\phi (x)}^2}{2}}\mathit{dx})$

であることも証明無しに使ってもよい．

【２】(1)　$T_0(x)=1\text{，}$$T_1(x)=x$として漸化式

$T_{n+2}(x)=2x{T}_{n+1}(x)-T_n(x)$

で多項式$T_1(x)\text{，}$$T_2(x)\text{，}$$\cdots \text{，}$$T_n(x)\text{，}$$\cdots$を定めると，任意の自然数$n$と実数$\theta$に対して

$T_n(\cos \theta )=\cos (n\theta )$

となることを示せ．

(2)　任意の自然数$n$と実数$\theta$に対して

となることを示せ．

《原注》(1)の$2$行目の漸化式において，$n$は$0$以上の整数とする．