2020　奈良女子大学　後期MathJax

(1)　$f(0)\geqq 0$かつ$f(1)\geqq 0$であるような$t$の値の範囲を求めよ．

(2)　$x$軸の$0\leqq x\leqq 1$の部分と放物線$y＝f(x)$が，異なる$2$点で交わるための$t$の値の範囲を求めよ．

(3)　$t$の値が(2)で求めた範囲にあるとき，放物線$y=f(x)$と$x$軸で固まれた部分の面積を$t$を用いて表せ．

$x=1-\cos at\text{，}$$y＝at-\sin at$$\text{（}t\geqq 0\text{）}$

で表されているとする．以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の速度$\overrightarrow{v}＝({\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}}，{\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}})$と速さ$\left|\overrightarrow{v}\right|＝\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}}\right)}^2}$を$t$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$の速さが$\sqrt{2}a$となる$t$の値をすべて求めよ．また，求めた$t$の値それぞれに対応する点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　(2)で求めた$t$の値のうち，最小の値を$t_1$とする．時刻$t=0$から$t＝t_{\mathrm{１}}$までの閉に点$\mathrm{P}$が動く道のり$L={\displaystyle {\int }_0^{t_1}}\left|\overrightarrow{v}\right|\mathit{dt}$を求めよ．

(1)　$r_1$を求め，円$O_1$の中心の座標を求めよ．

(2)　$r_2$を求めよ．

(3)　$r_n$を$n$を用いて表せ．

(4)　$p_n$を$n$を用いて表し，$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n$を求めよ．