2020　広島大学　前期MathJax

【１】　$m\text{，}$$p\text{，}$$q$を実数とする．二つの関数

$f(x)={\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}x\text{，}$$g(x)={\displaystyle \frac{1}{6}}{(x-p)}^2+q$

を考える．座標平面上の放物線

$C_1\text{：}y=f(x)\text{，}$$C_2\text{：}y=g(x)$

および直線$l\text{：}y=mx$について，次の二つの条件(ⅰ)，(ⅱ)が成り立つとする．

(ⅰ)　直線$l$は原点$\mathrm{O}$において放物線$C_1$に接している．

(ⅱ)　直線$l$は放物線$C_2$に接している．

直線$l$と放物線$C_2$の接点を$\mathrm{A}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$m$の値を求めよ．

(2)　$q$を$p$を用いて表せ．また，点$\mathrm{A}$の座標を$p$を用いて表せ．

(3)　$p\ne -1$とする．放物線$C_1$と放物線$C_2$の二つの共有点の$x$座標を$p$を用いて表せ．

(4)　$p=2$とする．放物線$C_1$と放物線$C_2$で囲まれた図形のうち，$x\geqq 0$の範囲にある部分の面積$S$と，$x\leqq 0$の範囲にある部分の面積$T$をそれぞれ求めよ．

【２】　$a\text{，}$$b$を正の定数とする．$0<\theta <\pi$を満たす実数$\theta$に対し，平面上で，次の三つの条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)を満たす三角形$\mathrm{PAB}\text{，}$およびこの三角形と辺$\mathrm{AB}$を共有する長方形$\mathrm{ABCD}$を考える．

(ⅰ)　$\mathrm{PA}=a\text{，}$$\mathrm{PB}=b\text{，}$$\mathrm{\angle APB}=\theta$である．

(ⅱ)　$2$点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$はともに直線$\mathrm{AB}$に関して点$\mathrm{P}$と反対側にある．

(ⅲ)　$\mathrm{AB}=3\mathrm{AD}$である．

三角形$\mathrm{PAB}$の面積と長方形$\mathrm{ABCD}$の面積の和を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)　辺$\mathrm{AB}$の長さを$a\text{，}$$b\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(2)　$S$を$a\text{，}$$b\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(3)　$\theta$が$0<\theta <\pi$の範囲を動くときの$S$の最大値を$M$とし，$S$が最大値$M$をとるときの$\theta$の値を$\beta$とする．$M$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．また，$\sin \beta$および$\cos \beta$の値をそれぞれ求めよ．

(4)　$a=16\text{，}$$b=25$とする．また，$\beta$を(3)で定めた値とする．$\theta =\beta$のときの，点$\mathrm{P}$と直線$\mathrm{AB}$の距離を求めよ．

【３】　$1$個のさいころを$2$回投げる．$1$回目に出た目を$a_1\text{，}$$2$回目に出た目を$a_2$とする．次に，$1$枚の硬貨を$2$回投げる．$1$回目に表が出た場合は$b_1=1\text{，}$裏が出た場合は$b_1=a_1$とおく．また，$2$回目に表が出た場合は$b_2=1\text{，}$裏が出た場合は$b_2=a_2$とおく．ベクトル

$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)$

を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$a_1+a_2=7$である確率を求めよ．

(2)　$b_1=1$である確率を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{b}=(1,1)$であったとき，$\overrightarrow{a}=(1,6)$である条件付き確率を求めよ．

(4)　$\overrightarrow{b}=(1,1)$であったとき，$a_1+a_2=7$である条件付き確率を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$を次の条件(ⅰ)，(ⅱ)により定める．

(ⅰ)　$a_1=1$である．

(ⅱ)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対し，$n$が奇数ならば$a_{n+1}=-a_n+1\text{，}$また$n$が偶数ならば，$a_{n+1}=-2a_n+3$である．

さらに，数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{2n-1}$により定め，数列$\{c_n\}$を$c_n=a_{2n}$により定める．次の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4\text{，}$$a_5$を求めよ．

(2)　数列$\{b_n\}\text{，}$$\{c_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．

(3)　自然数$m$に対して，数列$\{a_n\}$の初項から第$(2m-1)$項までの和を$T_m$とする．$T_m$を$m$を用いて表せ．

【２】　$i$を虚数単位とする．$z\ne -1$を満たす複素数$z$に対し，

$w={\displaystyle \frac{z-i}{z+1}}$

とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$z\ne -1$のとき$w\ne 1$であることを示せ．また，$w\ne 1$のとき，$z$を$w$を用いて表せ．

(2)　$t$を$-1$と異なる実数とする．複素数平面において，実部が$t$である複素数全体の描く直線を$l_t$とおく．点$z$が直線$l_t$上を動くとき，点$w$はある円$S_t$から$1$点を取り除いた図形の上を動く．この円$S_t$の中心${\mathrm{P}}_t$に対応する複素数を$t$を用いて表せ．

(3)　${\mathrm{P}}_t$を(2)で定義した点とする．$t$が$-1$以外の実数全体を動くときに${\mathrm{P}}_t$が描く図形を，複素数平面上に図示せよ．

【３】　関数$f(x)=x{e}^{-2x^2}$について，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　関数$f(x)$の極大値および極小値を求めよ．また，極大値をとるときの$x$の値，および極小値をとるときの$x$の値を求めよ．

(2)　$a>0$とし，点$\mathrm{A}$$(a,0)$を考える．また，座標平面上の曲線$y=f(x)$上の点$(t,f(t))$における接線を$l_t$とおく．$l_t$が点$\mathrm{A}$を通るような実数$t$がちょうど二つあるとする．このとき，$a$の値を求めよ．さらに，その二つの$t$の値を$p\text{，}$$q$（ただし，$p<q$）とおくとき，$p\text{，}$$q$を求めよ．

(3)　$q$を(2)で定めた値とする．曲線$y=f(x)\text{，}$直線$x=q$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】　$n$を正の整数とする．次の問いに答えよ．

(1)　定積分

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{n}}\sin nx\mathit{dx}}$

の値を求めよ．

(2)　定積分

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}|\sin nx|\mathit{dx}$

の値を求めよ．

(3)　座標平面において連立不等式

$0\leqq x\leqq \pi \text{，}$$0\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$y\leqq |\sin nx|$

の表す図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

(4)　座標平面において連立不等式

$0\leqq x\leqq \pi \text{，}$$0\leqq y\leqq \sqrt{x}|\sin nx|$

の表す図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【５】　$1$個のさいころを$3$回投げる．$1$回目に出た目を$a_1\text{，}$$2$回目に出た目を$a_2\text{，}$$3$回目に出た目を$a_3$とする．次に，$1$枚の硬貨を$3$回投げる．$k=1\text{，}$$2\text{．}$$3$に対し，$k$回目に表が出た場合は$b_k=1\text{，}$裏が出た場合は$b_k=a_k$とおく．ベクトル

$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$

を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$a_1+a_2+a_3=7$である確率を求めよ．

(2)　$b_1=1$である確率を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{b}=(1,1,1)$であったとき，$\overrightarrow{a}=(1,1,5)$である条件付き確率を求めよ．

(4)　$\overrightarrow{b}=(1,1,1)$であったとき，$a_1+a_2+a_3=7$である条件付き確率を求めよ．