2020　広島大学　後期数学科MathJax

【１】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2(6x-7)}}$

に対して，$y=f(x$のグラフを$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x$の極値を求め，曲線$C$の概形を描け．ただし，$C$の凹凸を調べる必要はない．

(2)　$f(x)={\displaystyle \frac{a}{x}}+{\displaystyle \frac{b}{x^2}}+{\displaystyle \frac{c}{6x-7}}$となる定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．

(3)　曲線$C$と直線

$l\text{：}y=f(-{\displaystyle \frac{1}{3}})$

の交点をすべて求めよ．

(4)　$l$を(3)で定義した直線とする．曲線$C$と直線$l$の交点の$x$座標のうち，最も大きいものを$\gamma$とし，次に大きいものを$\beta$とする．$\beta \leqq x\leqq \gamma$の範囲において，曲線$C$と直線$l$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　$(x,y,z)$を座標とする座標空間において，$3$点

$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,1,0)$

を考える．点$\mathrm{B}$を中心とする半径$2$の球面が平面$y=1$と交わってできる円を$C$とする．また，点$\mathrm{B}$を中心とする半径$3$の球面が平面$x=1$と交わってできる円を$D$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　次の条件を満たす実数$m$の値をすべて求めよ．

条件：平面$z=m$と円$C$は異なる$2$点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$で交わり，かつ線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の長さは$3$である．

(2)　$\mathrm{\angle AOP}$が$45\mathrm{°}$となる円$C$上の点$\mathrm{P}$をすべて求めよ．

(3)　直線$\mathrm{PQ}$が原点$\mathrm{O}$を通るような円$C$上の点$\mathrm{P}$と円$D$上の点$\mathrm{Q}$の組をすべて求めよ．

【３】　関数

$f(x)=x({\displaystyle \frac{3}{2}}-x)e^{-x}$

を考える．実数$a$に対し，

$g_a(x)=f(x+a)$

とおく．さらに$y=g_a(x)$のグラフのうち，不等式$x\geqq 0$で表される領域に含まれる部分を$C_a$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の増減を調べよ．また，関数$f(x)$の極値を求めよ．

(2)　実数$a$を$a\geqq 0$の範囲で動かすとき，曲線$C_a$が通る部分を$D$とする．$D$を図示せよ．必要ならば，

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$

が成り立つことを，証明なしで用いてよい．

(3)　(2)で定めた図形$D$のうち，不等式$y\geqq 0$で表される領域に含まれる部分の面積を求めよ．

【４】　$n$を自然数とする．$3$種類の文字$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を用いて長さ$n$の文字列を作ることを考える．このような文字列のうち，以下の条件を満たすものを$\mathrm{AB}$禁止文字列と呼ぶ．

条件：文字$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$がこの順に連続kして現れない．

たとえば，長さ$5$の文字列$\mathrm{AACBA}$は$\mathrm{AB}$禁止文字列であるが，$\mathrm{CABAC}$は$\mathrm{AB}$禁止文字列ではない．長さ$n$の$\mathrm{AB}$禁止文字列の個数を$P_n$と書く．たとえば，長さ$1$の文字列はすべて$\mathrm{AB}$禁止文字列だから$P_1=3$であり，長さ$2$の文字列は$\mathrm{AB}$を除いてすべて$\mathrm{AB}$禁止文字列だから$P_2=8$である．以下の問いに答えよ．

(1)　長さ$n$の$\mathrm{AB}$禁止文字列のうち，末尾が$\mathrm{A}$のものの個数を$P_n^{\mathrm{A}}$とおく．同様に末尾が$\mathrm{B}\text{，}$末尾が$\mathrm{C}$であるような長さ$n$の$\mathrm{AB}$禁止文字列の個数をそれぞれ$P_n^{\mathrm{B}}\text{，}$$P_n^{\mathrm{C}}$とおく．このとき，三つの等式

$P_{n+1}^{\mathrm{A}}=P_n\text{，}$$P_{n+1}^{\mathrm{C}}=P_n\text{，}$$P_{n+1}^{\mathrm{B}}=P_n^{\mathrm{B}}+P_n^{\mathrm{C}}$

が成り立つ．理由を説明せよ．

(2)　等式

$P_{n+2}=3P_{n+1}-P_n$

が成り立つことを示せ．

(3)　二次方程式

$x^2-3x+1=0$

の解を$\alpha \text{，}$$\beta$（ただし$\alpha <\beta$）とおく．等式

$P_{n+2}-\alpha P_{n+1}=\beta (P_{n+1}-\alpha P_n)$

および

$P_{n+2}-\beta P_{n+1}=\alpha (P_{n+1}-\beta P_n)$

が成り立つことを示せ．

(4)　極限

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{P_{n+1}}{P_n}}$

を調べよ．

【５】　実数$x$に対して，$x$を超えない最大の整数を$[x]$で表す．$2$以上の整数$n$に対して

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}\left[{\displaystyle \frac{k^3}{n}}\right]$

と定める．たとえば，

$S_3=\left[{\displaystyle \frac{1}{3}}\right]+\left[{\displaystyle \frac{8}{3}}\right]=2\text{，}$$S_5=\left[{\displaystyle \frac{1}{5}}\right]+\left[{\displaystyle \frac{8}{5}}\right]+\left[{\displaystyle \frac{27}{5}}\right]+\left[{\displaystyle \frac{64}{5}}\right]=18$

である．以下の問いに答えよ．必要ならば，正の整数$m$に対して

${\displaystyle \sum _{k=1}^m}k={\displaystyle \frac{m(m+1)}{2}}\text{，}$${\displaystyle \sum _{k=1}^m}{k}^2={\displaystyle \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}}$

が成り立つことを，証明なしで用いてよい．

(1)　$n$を$2$以上の整数とし，$k$を$n$未満の正の整数とする．$n$と$k$が互いに素であるとき，

$\left[{\displaystyle \frac{k^3}{n}}\right]+\left[{\displaystyle \frac{{(n-k)}^3}{n}}\right]$

を$n\text{，}$$k$についての整式として表せ．

(2)　$p$を素数とするとき，$S_p$を$p$を用いて表せ．また，$S_{23}$を求めよ．

(3)　$p$を素数とするとき，$S_{p^2}$を$p$を用いて表せ．また，$S_{25}$を求めよ．