2020　山口大学　前期MathJax

【１】　平面上に$\mathrm{▵ABC}$があり，頂点$\mathrm{A}$を中心とした半径$4$の円$C_1\text{，}$頂点$\mathrm{B}$を中心とした半径$3$の円$C_2\text{，}$頂点$\mathrm{C}$を中心とした半径$2$の円$C_3$がある．$2$円$C_1\text{，}$$C_2$は点Rで外接し，$2$円$C_2\text{，}$$C_3$は点$\mathrm{P}$で外接し，$2$円$C_3\text{，}$$C_1$は点$\mathrm{Q}$で外接しているとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{\angle BAC}=\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めなさい．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めなさい．

(3)　$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を通る円の半径を求めなさい．

【２】　右の表は，$5$人の生徒$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$の英語と数学の小テスト（各$10$点満点）の点数をまとめたものである．ただし，$a\text{，}$$b$は$0$以上$10$以下の整数である．

　英語の点数の平均値が$6\text{，}$数学の点数の分散が$1.6$であるとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$a\text{，}$$b$の値を求めなさい．

(2)　英語の点数と数学の点数の相関係数を小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めなさい．

【３】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$2$人が$1$つずつさいころを投げ，出た目の合計が$4$以下なら$\mathrm{A}$の勝ち，それ以外のときは$\mathrm{B}$の勝ちとなるゲームを行う．このゲームをくり返し，先に$3$回勝った方を優勝とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$1$回のゲームにおいて，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めなさい．

(2)　優勝が決まるまでに$\mathrm{A}$が少なくとも$1$回勝つ確率を求めなさい．

(3)　$4$回目に$\mathrm{A}$の優勝が決まる確率を求めなさい．

(4)　$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めなさい．

【４】　$f(x)=x^2-x-2$とし，曲線$y=f(x)$$\text{（}x\leqq 3\text{）}$を$C\text{，}$曲線$C$上の点$\mathrm{P}$$(a,f(a))$を通り$x$軸に平行な直線を$l\text{，}$直線$x=3$を$m$とする．$C\text{，}$$l\text{，}$$m$のうち$2$つ以上で囲まれたすべての部分の面積の和を$S(a)$とおく．点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を$-2\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$の範囲で動くとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$S(a)$を$a$を用いて表しなさい．

(2)　$S(a)$の最大値と最小値を求めなさい．

【２】　$2$つの袋$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$があり，はじめに袋$\mathrm{A}$には赤玉$5$個，袋$\mathrm{B}$には白玉$5$個が入っている．$n$は$1$以上$6$以下の整数とし，次の操作$\mathrm{T}$をくり返す．

操作$\mathrm{T}$「袋$\mathrm{A}$と袋$\mathrm{B}$から玉を$1$個ずつ取り出す．$1$個のさいころを投げ，$n$以下の目が出た場合は取り出した玉をそれぞれ元の袋に戻し，そうでない場合は取り出した玉をそれぞれ元の袋と異なる袋に入れる．」

このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$n=1$とする．操作$\mathrm{T}$を$2$回くり返した後，袋$\mathrm{A}$に赤玉が$5$個入っている確率を求めなさい．

(2)　$n=1$とする．操作$\mathrm{T}$を$3$回くり返した後，袋$\mathrm{A}$に赤玉が$5$個入っている確率を求めなさい．

(3)　操作$\mathrm{T}$を$2$回くり返した後，袋$\mathrm{A}$に赤玉が$4$個と白玉が$1$個入っている確率を$p_n$とする．$p_n$の最大値と，そのときの$n$の値を求めなさい．

【３】　$a\text{，}$$b$を正の実数とする．関数$y=x^2$と$y=-b{(x-a)}^2+1$のグラフがただ$1$つの共有点をもつとする．この共有点の$x$座標を$k$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$k$を$a$を用いて表しなさい．

(2)　関数$f(x)$を次のように定義する．

$x\leqq k$のとき$f(x)=x^2$

$x>k$のとき$f(x)=-b{(x-a)}^2+1$

曲線$y=f(x)$を$C$とし，$4$点$(0,0)\text{，}$$(a.0)\text{，}$$(a,1)\text{，}$$(0,1)$をそれぞれ$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．$2$線分$\mathrm{OP}\text{，}$$\mathrm{PQ}$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を$S_1\text{，}$$2$線分$\mathrm{OR}\text{，}$$\mathrm{RQ}$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1$と$S_2$の比が$5:3$となるように$a$の値を定めなさい．

【４】　連続関数$y=f(x)$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}})$は

${\displaystyle \frac{4}{3}}\pi <f(x)\leqq 2\pi$

を満たし，区間$(-{\displaystyle \frac{\pi }{3}},{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$で微分可能であるとする．等式

$\cos f(x)-2{\sin }^{2}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}=0$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}})$

が成り立つとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$f\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)\text{，}$$f\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)\text{，}$$f(-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$の値をそれぞれ求めなさい．

(2)　微分係数$f^{\prime }\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)\text{．}$$f^{\prime }(-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$の値をそれぞれ求めなさい．

(3)　曲線$y=f(x)$上の点$({\displaystyle \frac{\pi }{4}},f({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\left)\right)$における接線を$l_1\text{，}$点$(-{\displaystyle \frac{\pi }{6}},f(-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\left)\right)$における法線を$l_2$とする．$l_1$と$l_2$の交点の$x$座標を求めなさい．

【２】　$a\text{，}$$b$を正の実数とする．$zy$平面において，原点$(0,0)$で$x$軸に接する直径$a$の円を$C_1\text{，}$点$(1,0)$で$x$軸に接する直径$b$の円を$C_2$とする．ただし，$C_1$と$C_2$の中心はともに直線$y=0$の上側にあるとする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$C_1$と$C_2$が異なる$2$点で交わるための必要十分条件を$a\text{，}$$b$の式で表しなさい．

(2)　$c$を正の実数とするとき，

$a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)+4<0$

は，$C_1$と$C_2$が直線$y={\displaystyle \frac{1}{c}}$の上側と下側に$1$つずつ交点をもつための必要十分条件であることを示しなさい．

【３】　$\alpha \text{，}$$\beta$を$0<\alpha <\beta$を満たす実数とし，$k=\alpha +\beta \text{，}$$f(x)=(x-\alpha )(x-\beta )$とする．曲線$y=f(x)$$\text{（}x\leqq k\text{）}$を$C\text{，}$曲線$C$上の点$\mathrm{P}$$(p,f(p))$を通り$x$軸に平行な直線を$l\text{，}$直線$x=k$を$m$とする．$C\text{，}$$l\text{，}$$m$のうち$2$つ以上で囲まれたすべての部分の面積の和を$S(p)$とおく．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$0\leqq p\leqq {\displaystyle \frac{k}{2}}$のとき，$S(p)$を$p$と$k$を用いて表しなさい．

(2)　点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき，$S(p)$の最小値とそのときの$p$の値を$k$を用いて表しなさい．

【４】　$2$次方程式$3x^2+\sqrt{3}x+1=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とし，一般項が$a_n={\alpha }^n+{\beta }^n$で表される数列$\{a_n\}$を考える．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$の値を求めなさい．

(2)　次の等式が成り立つことを示しなさい．

$a_{n+3}={\displaystyle \frac{1}{3\sqrt{3}}}{a}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(3)　$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が次のように表されることを示しなさい．

$S_n=-{\displaystyle \frac{1}{(\alpha -1)(\beta -1)}}{a}_{n+1}+{\displaystyle \frac{\alpha \beta }{(\alpha -1)(\beta -1)}}{a}_n$$+{\displaystyle \frac{\alpha +\beta -2\alpha \beta }{(\alpha -1)(\beta -1)}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(4)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$が収束することを示し，その和を求めなさい．