2020　大分大学　前期MathJax

【１】　$\mathrm{▵ABC}$において$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=1\text{，}$$\mathrm{\angle B}=90\mathrm{°}$とする．$\mathrm{\angle B}$の二等分線と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{D}$とし，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{D}$を通る円と直線$\mathrm{BC}$の交点のうち点$\mathrm{B}$と異なる点を$\mathrm{E}$とする．また，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{DE}$の交点を$\mathrm{F}$とする．

(1)　線分$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．

(2)　線分$\mathrm{BE}$の長さを求めなさい．

(3)　線分$\mathrm{AF}$の長さを求めなさい．

【２】　$2$つの放物線$C_1\text{：}y=x^2-4x+1\text{，}$$C_2\text{：}y=x^2+2x-5$の両方に接する直線を$l$とする．

(1)　$2$つの放物線$C_1\text{，}$$C_2$の交点の座標を求めなさい．

(2)　直線$l$の方程式を求めなさい．

(3)　$2$つの放物線$C_1\text{，}$$C_2$と直線$l$で囲まれた部分の面積を求めなさい．

【３】　$\mathrm{▵OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$は

$\left|\overrightarrow{a}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=2\text{，}$$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{7}$

を満たすとする．$s\text{，}$$t\text{，}$$k$は

$s\geqq 0\text{，}$$t\geqq 0\text{，}$$s+t=k$

を満たす実数とし，点$\mathrm{P}$は

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(s-2t)\overrightarrow{a}+(s+t)\overrightarrow{b}$

を満たしながら動くとする．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$と$|-2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$の値を求めなさい．

(2)　$k=1$のとき，点$\mathrm{P}$の存在範囲を求めなさい．

(3)　$1\leqq k\leqq 2$のとき，点$\mathrm{P}$の存在範囲を求めなさい．

(4)　$1\leqq k\leqq 2$のとき，点$\mathrm{P}$の存在範囲の面積を求めなさい．

【３】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$は

$S_n=(n+3)({\displaystyle \frac{1}{3}}{a}_n-2)$

を満たすとする．

(1)　$a_1$を求めなさい．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n\text{，}$$n$を用いて表しなさい．

(3)　一般項$a_n$を$n$を用いて表しなさい．

【４】　関数$f(x)$は等式

$f(x)=\sin x+3{\displaystyle {\int }_0^{\frac{x}{2}}}f(t)\cos t\mathit{dt}-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

を満たし，関数$g(x)$は

$g(x)=-{\displaystyle {\int }_0^x}(x-t)\cos t\mathit{dt}+1$

とする．

(1)　関数$f(x)$を求めなさい．

(2)　関数$g(x)$の導関数を求めなさい．

(3)　$-\pi \leqq x\leqq \pi$において，$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めなさい．

【１】　$n$を任意の正の整数とし，$2$つの関数$f(x)\text{，}$$g(x)$はともに$n$回微分可能な関数とする．このとき以下の問いに答えなさい．

(1)　積$f(x)g(x)$の第$4$次導関数${\displaystyle \frac{d^4}{{\mathit{dx}}^4}}\{f(x)g(x)\}$を求めなさい．

(2)　積$f(x)g(x)$の第$n$次導関数${\displaystyle \frac{d^n}{{\mathit{dx}}^n}}\{f(x)g(x)\}$における$f^{(n-\mathrm{r})}(x)g^{(r)}(x)$の係数を類推し，その類推が正しいことを数学的帰納法を用いて証明しなさい．ただし，$r$は負でない$n$以下の整数とし，$f^{(0)}(x)=f(x)\text{，}$$g^{(0)}(x)=g(x)$とする．

(3)　関数$h(x)=x^3{e}^x$の第$n$次導関数$h^{(n)}(x)$を求めなさい．ただし，$e$は自然対数の底であり，$n\geqq 4$とする．

【２】　階段を上るとき，一度に上ることができる段数は$1$段または$2$段のみであるとする．このとき以下の問いに答えなさい．

(1)　ちょうど$10$段上る方法は全部で何通りあるか答えなさい．

(2)　$n$を正の整数とする．ちょうど$n$段上る方法は全部で何通りあるか答えなさい．

【３】　座標平面上に動点$\mathrm{P}$があり，次のルールに従って移動するものとする．

ルール：サイコロ$1$個を振って，$1\text{，}$$2\text{，}$$3$の目が出たら$(x,y)\to (x+1,y)$のように移動し，$4\text{，}$$5$の目が出たら$(x,y)\to (x,y+1)$のように移動するが，$6$の目が出たら移動しない．

　はじめ点$\mathrm{P}$は原点$(0,0)$にあるとして以下の問いに答えなさい．ただし，サイコロの目はどれも同様な確からしさで出るものとする．

(1)　$1$個のサイコロを$5$回振った時点で，点$\mathrm{P}$の座標が$(3,2)$である確率を求めなさい．

(2)　$1$個のサイコロを$5$回振った時点で，点$\mathrm{P}$の座標が$(2,2)$である確率を求めなさい．

(3)　$k$は正の整数であり，$m\text{，}$$n$は負でない整数とする．$1$個のサイコロを$k$回振った時点で，点$\mathrm{P}$の座標が$(m,n)$である確率を$p_k(m,n)$とする．和${\displaystyle \sum _{m=0}^{k-1}}{p}_k(m,k-m-1)$を，$k$を用いて表しなさい．