2020　宮崎大学　前期MathJax

【１】　整式$P(x)=x^3+15x^2+71x+105$について，次の各問に答えよ．

(1)　$P(x)$を因数分解せよ．

(2)　以下のような自然数のうち，最も大きいものを求めよ．

$k$は，すべての正の奇数$a$について次の条件(＊)を満たす．

(＊)　$P(a)$は$k$の倍数である．

【２】　右図の平行六面体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{AP}$の中点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{FQ}$の中点を$\mathrm{R}$とし，直線$\mathrm{OR}$が$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{G}$を通る平面と交わる点を$\mathrm{S}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$のそれぞれを，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

(2)　$2$つの線分$\mathrm{OS}$と$\mathrm{SR}$の比$\mathrm{OS}:\mathrm{SR}$を求めよ．

【３】　$k$を定数とする．座標平面上に$2$つの放物線$C_1\text{：}y=-x^2+3x+5\text{，}$$C_2\text{：}y=2x^2+3x+k$がある．$C_1$と$C_2$の交点は$2$つあり，それらの$x$座標を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．ただし，$\alpha <1<\beta$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$k$を，$\beta$を用いて表せ．

(2)　$k$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　区間$1\leqq x\leqq \beta$において，放物線$C_1\text{，}$$C_2$および直線$x=1$で囲まれた部分の面積$S$を，$\beta$を用いて表せ．

(4)　(3)の面積$S$が$5$となるような$k$の値を求めよ．

【２】　次の各問に答えよ．

(1)　数学的帰納法を用いて，自然数$n$に対する次の等式を証明せよ．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^2={\displaystyle \frac{1}{6}}n(n+1)(2n+1)$

(2)　自然数の列を，次のような群に分ける．ただし，第$n$群には$n$個の数が入るものとする．

$\begin{array}{ccccccc}1& |& 2,3& |& 4,5,6& |& \cdots \\ \text{第}1\text{群}& & \text{第}2\text{群}& & \text{第}3\text{群}& & & \end{array}$

第$n$群の最初の数を$a_n$とするとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を，$n$を用いて表せ．

【３】　次の空欄を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}$の導関数は，$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{\text{あ}}{{(e^x+e^{-x})}^2}}$である．

【３】　次の空欄を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(2)　関数$f(x)=\log \sqrt{x^2+1}$の導関数は，$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{\text{い}}{x^2+1}}$である．

【３】　次の空欄を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(3)　$x$の関数$y$が，$t$を媒介変数として，

$\{\begin{array}{l}x=t-\sin t\\ y=1-\cos t\end{array}$

で表されているとき，導関数${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}$を$t$の関数として表すと，${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}=\text{う}$である．

【３】　次の空欄を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(4)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}}$の不定積分は，${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}=\text{え}+C$である．ただし，$C$は積分定数とする．

【３】　次の空欄を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(5)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2-x^2}}}\mathit{dx}$の値は$\text{お}$である．

【３】　次の空欄を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(6)　定統分${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}}(3x+2)\sin x\mathit{dx}$の値は$\text{か}$である．

【４】　$\mathrm{▵ABC}$における$\mathrm{\angle A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とし，$\mathrm{A}$から$\mathrm{D}$へのばした半直線と$\mathrm{▵ABC}$の外接円との交点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{\angle BAD}$の大きさを$\theta$とし，$\mathrm{BE}=3\text{，}$$\cos 2\theta ={\displaystyle \frac{2}{3}}$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　線分$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

(2)　$\mathrm{▵BEC}$の面積を求めよ．

(3)　$\mathrm{AD}:\mathrm{DE}=4:1$のとき，線分$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．ただし，$\mathrm{AB}>\mathrm{AC}$とする．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x^3}{{(x-1)}^2}}$$\text{（}x>1\text{）}$および座標平面上の曲線$C\text{：}y=f(x)$について，次の各問に答えよ．

(1)　次の空欄を適切な数または数式で埋めよ．

$f(x)$の導関数は$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{\text{あ}}{{(x-1)}^3}}$であり，第$2$次導関数は$f^{″}(x)={\displaystyle \frac{\text{い}}{{(x-1)}^4}}$である．また，$\underset{x\to \infty }{\lim }\{f(x)-x\}=\text{う}$である．$x\to \infty$のとき，曲線$C$は直線$y=\text{え}$に限りなく近づく．

(2)　関数$f(x)$の増減，極値，曲線$C$の凹凸，変曲点，および漸近線を調べて，曲線$C$の概形をかけ．

(3)　曲線$C$と$x$軸および$2$直線$x=2\text{，}$$x=3$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【１】　鋭角三角形$\mathrm{OAB}$における$\mathrm{\angle O}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{OB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{E}\text{，}$線分$\mathrm{OD}$と線分$\mathrm{AE}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{OA}=x\text{，}$$\mathrm{OB}=1\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=\theta$とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とするとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$

となるような$s\text{，}$$t$のそれぞれを，$x\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

【２】　$s\text{，}$$t$を正の実数とする．$i$は虚数単位とする．複素数平面上で，複素数$1$の表す点を$\mathrm{P}$とし，$\alpha =s+ti$の表す点を$\mathrm{A}$とする．原点$\mathrm{O}$を中心として点$\mathrm{A}$を${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$だけ回転した点を$\mathrm{B}$とし，点$\mathrm{P}$を中心として点$\mathrm{B}$を$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$だけ回転した点を$\mathrm{C}$とする．$2$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の表す複素数をそれぞれ$\beta \text{，}$$\gamma$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\beta \text{，}$$\gamma$のそれぞれを，$\alpha$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{C}$が直線$\mathrm{PA}$上にあるとき，$\alpha$を，$s$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{▵ACB}$の外接円の中心を表す複素数を$w$とする．点$\mathrm{C}$が直線$\mathrm{PA}$上にあるとき，$w$を，$s$を用いて表せ．

【４】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$つの曲線

$C_1\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{9}}+y^2=1$$\text{（}y\geqq 0\text{），}$$C_2\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{6}}-{\displaystyle \frac{y^2}{2}}=1$$\text{（}x>0\text{）}$

がある．$C_1$と$y$軸との交点を$\mathrm{E}\text{，}$$C_2$と$x$軸との交点を$\mathrm{F}$とする．また，$C_1$と$C_2$は$1$点で交わる．その交点を$\mathrm{G}$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{G}$の座標を求めよ．

(2)　関数$f(x)=x\sqrt{x^2-6}-6\log |x+\sqrt{x^2-6}|$の導関数を求めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(3)　$2$つの曲線$C_1\text{，}$$C_2$および$2$つの線分$\mathrm{OE}\text{，}$$\mathrm{OF}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【５】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は右図のような格子状の道を以下のように移動するゲームを行う．

•$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は，このゲームにおいて$\mathrm{a}$から$\mathrm{i}$までの$9$つの点のいずれかにいる．

・最初$\mathrm{A}$は点$\mathrm{a}$に，また$\mathrm{B}$は点$\mathrm{i}$にいる．

・$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は同時に出発し，$1$秒毎に隣の点へ移動する．

•$1$回目の移動では，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$のそれぞれは隣の点へ確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で移動する．

・$2$回目以降の移動では，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$のそれぞれは$1$秒前に自分がいた点以外の点へ等しい確率で移動する．ただし，移動できる点が$1$つの場合には，その点へ確率$1$で移動する．

・$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がはち合せする（すなわち，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が同時に同じ点に到達する）と，このゲームは終了する．

　例えば，$\mathrm{A}$が出発から$1$秒後に点$\mathrm{b}$に，$2$秒後に点$\mathrm{e}$にいて，$\mathrm{B}$が出発から$1$秒後に点$\mathrm{f}$に，$2$秒後に点$\mathrm{e}$にいたら，出発から$2$秒後に$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は点$\mathrm{e}$ではち合せし，ゲームが終了する．

　出発から$4$秒以内でゲームが終了する確率を求めよ．