2020　琉球大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

問１　$\cos 15\mathrm{°}$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

問２　${6400}^{50}$は何桁の整数か．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【１】　次の問いに答えよ．

問３　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{BC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，対角線$\mathrm{BD}$と線分$\mathrm{AE}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}$と表すとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{d}$立を用いて表せ．

【２】　実数$a>1$に対して，$f(x)=x^2+2x-a^2+2a$とおく．次の問いに答えよ．

問１　$2$次方程式$f(x)=0$の解を$a$を用いて表せ．

問２　放物線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=a$で囲まれた$2$つの部分の面積が等しいとき，${\displaystyle {\int }_{-a}^a}f(x)\mathit{dx}=0$を示し，このときの$a$の値を求めよ．

【１】　関数$y=x^3+x-1$の表す曲線$C$について，次の問いに答えよ．

問１　$C$上の点$(t,t^3+t-1)$における接線の方程式を，$t$を用いて表せ．

問２　点$(0,1)$を通る$C$の接線を$l$とする．$l$の方程式と接点の座標を求めよ．

問３　$C$と問２で求めた$l$で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

【２】　$a$を正の実数とする．$x>0$において，曲線$y=\log x$と曲線$y=\sqrt{ax}$が共有点をもたないような$a$の値の範囲を求めよ．

【３】　$i$を虚数単位とし，複素数$a_n$を

$a_1=-1\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}{a}_n+\sqrt{3}i$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{．}\cdots \text{）}$

によって定める．また，複素数$b_n$を

$b_1=1\text{，}$$b_{n+1}=a_n{b}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．このとき，次の問いに答えよ．

問１　$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$を求めよ．

問２　すべての正の整数$n$について$a_{n+3}=a_n$が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．

問３　$b_n$を求めよ．

【４】　$1$から$7$までの数を$1$つずつ書いた$7$個の玉が，袋の中に入っている．袋から玉を$1$個取り出し，書かれている数を記録して袋に戻す．この試行を$n$回繰り返して得られる$n$個の数の和が$4$の倍数となる確率を$p_n$とする．ただし，$n$は正の整数とする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　$p_1$と$p_2$を求めよ．

問２　$p_{n+\mathrm{l}}$を$p_n$の式で表せ．

問３　$p_n$を求めよ．