2020　琉球大学　後期理学部MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

問１　座標平面上で$2$つの不等式

$x^2+y^2\leqq 12\text{，}$$y\geqq x^2$

によって定まる領域を$D$とする．$D$の面積$S$を求めよ．

問２　座標平面上で$4$つの不等式

$x^2+y^2\leqq 12\text{，}$$y\leqq x^2\text{，}$$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0$

によって定まる領域を$E$とする．$E$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{e^x}{{(e^x-1)}^2}}$について次の問いに答えよ．

問１　不定積分${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

問２　定積分${\displaystyle {\int }_{\log 2}^{\log 3}}xf(x)\mathit{dx}$を求めよ．

【３】　$\mathrm{▵ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$について，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}+3\overrightarrow{\mathrm{BP}}+4\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{0}$が成り立っている．$\mathrm{▵ABC}$の面積を$S$とするとき，$\mathrm{▵PBC}\text{，}$$\mathrm{▵PCA}\text{，}$$\mathrm{▵PAB}$の面積をそれぞれ$S$を用いて表せ．

【４】　数直線上の点$\mathrm{P}$を次の規則で移動させる．一枚の硬貨を投げて，表が出れば$\mathrm{P}$を$+1$だけ移動させ，裏が出れば$\mathrm{P}$を原点に関して対称な点に移動させる．$\mathrm{P}$は初め原点にあるとし，硬貨を$n$回投げた後の$\mathrm{P}$の座標を$a_n$とする．ただし，$n$は正の整数とする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　$a_3=0$となる確率を求めよ．

問２　$a_4=1$となる確率を求めよ．

問３　$n\geqq 3$のとき，$a_n=-(n-2)$となる確率を$p_n$とする．$p_n={\displaystyle \frac{1}{2^n}}$であることを示せ．

問４　$n\geqq 3$のとき，$a_n=n-3$となる確率を$q_n$とする．$q_n$を$n$を用いて表せ．