2020　公立はこだて未来大学　推薦MathJax

【１】　赤玉$1$個，青玉$1$個，白玉$1$個が入っている袋から玉を$1$個取り出して色を調べてからもとに戻す．この試行を$6$回続けて行う．各試行において，取り出した玉が赤玉のとき$3$点，青玉のとき$2$点，白玉のとき$-1$点とし，全6回の試行における点数の和を$S$とする．以下の問いに答えよ．

問１　$S=18$となる確率を求めよ．

問２　$S=0$となる確率を求めよ．

問３　$S=6$となる確率を求めよ．

【２】　関数$f(x)$と$g(x)$をそれぞれ$f(x)={(x-a)}^2-a\text{，}$$g(x)=x^2$とする．ただし，$a$は$a>0$をみたす実数とする．以下の問いに答えよ．

問１　座標平面上の曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の共有点の座標を$(x_0,y_0)$とする．$x_0\text{，}$$y_0$を求めよ．また，$-1\leqq x_0\leqq 1$をみたすとき，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

問２　関数$H(a)$を以下のように定める．

$H(a)={\displaystyle {\int }_{-1}^1}|f(x)-g(x)|\mathit{dx}$

$a$が$0<a\leqq 1$の範囲にあるとき$H(a)$を$a$を用いて表せ．また，$H(a)$の最大値およびそのときの$a$の値をそれぞれ求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$は漸化式$a_{n+1}=a_n+{\displaystyle \frac{1}{16}}{2}^{n+1}\text{，}$$a_1={\displaystyle \frac{1}{4}}$をみたすとする．また，座標平面上の直線$y=a_{n}x$と$x$軸の正の向きとのなす角のうち小さい方を${\theta }_n$とする．以下の問いに答えよ．

問１　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

問２　$\tan ({\theta }_{n+1}-{\theta }_n)$を$n$を用いて表せ．

問３　$\tan ({\theta }_{n+1}-{\theta }_n)>{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{5}}$をみたす$n$をすべて求めよ．