2020　公立はこだて未来大学　AOMathJax

【１】　実数$x$に関する以下の条件$p$をみたす全体の集合を$P\text{，}$条件$q$をみたす全体の集合を$Q\text{，}$条件$r$をみたす全体の集合を$R$とする．

条件$p\text{：}\left|x\right|+|3x-6|<4$

条件$q\text{：}{x}^2+x-2>0$

条件$r\text{：}x>1$

以下の問いに答えよ．

問１　集合$P$を求めよ．

問２　$2$つの集合$Q$と$R$の間に成り立つ関係を，$\subset \text{，}$$\supset \text{，}$$=$を用いて表せ．

問３　集合$\overline{P\cup Q\cup R}$を求めよ．

【２】　座標平面上の$\mathrm{▵ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とし，点$\mathrm{R}$は$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を通る直線上にあるとする．頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$とするとき，以下の問いに答えよ．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$ $\overrightarrow{c}$を用いてそれぞれ表せ．

問２　点$\mathrm{R}$は，実数$k$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AR}}=k\overrightarrow{\mathrm{AB}}$をみたすとする．$k$の値を求めよ．

問３　問２のように点$\mathrm{R}$を定めたとき，$\mathrm{PR}:\mathrm{QR}$を求めよ．

【３】　座標平面上に点$\mathrm{A}$$(2,4)\text{，}$点$\mathrm{B}$$(4,2)$および点$\mathrm{C}$$(a,a)$があるとする．ただし，$a\ne 3$とする．以下の問いに答えよ．

問１　$\mathrm{▵ABC}$の重心の座標を$a$を用いて表せ．

問２　$\mathrm{▵ABC}$の外心（外接円の中心）の座標を$a$を用いて表せ．さらに，$\mathrm{▵ABC}$の重心と外心が一致するとき，$a$の値をすべて求めよ．

問３　$\mathrm{▵ABC}$の外接円が$x$軸に接するとき，$a$の値をすべて求めよ．