2020　宮城大学　前期MathJax

【１】　次の問１〜問３に答えよ．

問１　次の式の分母を有理化せよ．${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+2}}$

【１】　次の問１〜問３に答えよ．

問２　$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{3}{5}}$のとき，$\sin 2\alpha +\cos 2\alpha$の値を求めよ．

【１】　次の問１〜問３に答えよ．

問３　次の不等式を解け．

(1)　${\log }_2(x-8)<3$

(2)　${\log }_{\frac{1}{2}}(x-2)>4$

(3)　${\log }_{x}8>3$

【２】　$n$を自然数とする．変量$x$についての$n$個のデータの値を$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_n$と表す．次の問に答えよ．

(1)　$5$個のデータ$x_1=4\text{，}$$x_2=1\text{．}$$z_3=3\text{．}$$x_4=5\text{，}$$x_5=2$の平均値$\bar{x}$を求めよ．

(2)　(1)のデータの分散$s^2$を求めよ．

(3)　$n$個のデータの値が$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$\cdots \text{．}$$x_n$であり，その平均値を$\bar{x}\text{，}$分散を$s^2$とする．このとき，$s^2=0$ならば，値$x_1\text{．}$$x_2\text{．}$$\cdots \text{．}$$x_n$はすべて平均値$\bar{x}$に一致することを，分散$s^2$の定義式を用いて証明せよ．

【３】　関数

$f(x)={\displaystyle {\int }_x^1}(at+b)\mathit{dt}$

次の$2$つの条件を満たす．ここで，$a\text{，}$$b$は定数とする．

• (ⅰ)　$f(0)=0$
• (ⅱ)　$f^{\prime }(0)=1$

　このとき，次の問に答えよ．

(1)　定数$a\text{，}$$b$を求めよ．さらに，関数$f(x)$を積分を用いずに表せ．

(2)　関数$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(3)　関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【４】　次の囲み内の主張には誤りがある．虚数単位を$i$として，次の問に答えよ．ただし，主張内の式変形における等号$=$の上には説明の都合上，番号(ⅰ)〜(ⅸ)が付記されている．

(1)　上の結果「$2=-2$」は誤りである．これは間違った等号が式変形中に用いられたためである．番号(ⅰ)〜(ⅸ)が付記されている等号で，誤りであるものをすべて指摘せよ．

(2)　(1)で誤りと指摘した等号が成立しないことを証明しなさい．上の主張内の正しい等号は適宜使用しても構わない．

【５A】　赤球$4$個，黒球$3$個，白球$3$個が入った箱から球をいくつか取り出す．次の問に答えよ．

(1)　$3$個同時に取り出すとき，次の確率を求めよ．

(ⅰ)　$3$個とも同色になる確率

(ⅱ)　$3$個とも異なる色になる確率

(ⅲ)　少なくとも$1$個赤球を含む確率

(2)　$2$個同時に取り出すとき，$2$個とも異なる色になる確率を求めよ．

(3)　$4$個同時に取り出すとき，$3$色すべて取り出される確率を求めよ．

【５B】　四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{OC}$をそれぞれ$1:1\text{，}$$1:2\text{，}$$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{．}$$\mathrm{R}$とし，三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．平面$\mathrm{PQR}$と直線$\mathrm{OG}$との交点を$\mathrm{S}\text{，}$直線$\mathrm{PS}$と直線$\mathrm{QR}$との交点を$\mathrm{T}$とおき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$をベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$で表せ．

(2)　比$\mathrm{QT}:\mathrm{TR}$を求めよ．

【６A】　平面上の図形に関する次の問に答えよ．ただし，一直線上にある異なる$3$点は面積$0$の三角形とみなす．

(1)　$1$辺の長さが$2$の正方形の内部および辺に異なる$3$点をとる．このとき，$3$点を結んで出来る三角形の面積は$2$以下であることを示せ．

(2)　$1$辺の長さが$4$の正方形の内部および辺に異なる$9$点をとる．このうちの$3$点を結んで出来る三角形の少なくとも$1$つの三角形の面積は$2$以下であることを示せ．

【６B】　等比数列$\{c_n\}$の一般項を$c_n=3\times {31}^{n-1}$とする．次の問に答えよ．

(1)　数列$\{c_n\}$を階差数列とする数列$\{b_n\}$で初項$b_1=0$となるものの一般項を求めよ．

(2)　(1)で求めた数列$\{b_n\}$の$b_2\text{，}$$b_3$を求めよ．

(3)　(1)で求めた数列$\{b_n\}$を階差数列とする初項$a_1=2$となる数列$\{a_n\}$の$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$を求めよ．さらに，積$a_1{a}_2{a}_3{a}_4$を求めよ．