2020　福島県立医科大学　前期MathJax

【１】　次の各問いについて答えだけを書け．

(1)　$\sin x\cos x+\sin x+\cos x$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$の最大値と最小値を求めよ．

【１】　次の各問いについて答えだけを書け．

(2)　複素数平面上に$3$点$\mathrm{A}(z)\text{，}$$\mathrm{B}(z^2)\text{，}$$\mathrm{C}(z^3)$があって，$\mathrm{▵ABC}$は辺の長さの比が$2:2:1$の二等辺三角形になっている．このような条件を満たす複素数$z$をすべて求めよ．

【１】　次の各問いについて答えだけを書け．

(3)　座標平面上の$2$つの曲線$y=x^2-5x$と$y=a{x}^2-5x$は$2$つの交点を有し，$1$つの交点における各接線は直交している．$a$の値をすべて求めよ．

【１】　次の各問いについて答えだけを書け．

(4)　${(1+x+x^2)}^{10}$の展開式における$x^7$の項の係数を求めよ．

【２】　$0<t<{\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．一辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OADB‐CEFG}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．対角線$\mathrm{OF}$を$t:1-t$に内分する点$\mathrm{P}$から対角線$\mathrm{AG}\text{，}$$\mathrm{BE}\text{，}$$\mathrm{DC}$に下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{．}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$t$で表せ．

(2)　$\mathrm{▵QRS}$は正三角形であることを示せ．

(3)　四面体$\mathrm{PQRS}$に外接する球の半径を$t$で表せ．

【３】　$0<a<1$とする．関数$f(x)=x\log (x^2+a)$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$x$の方程式$f^{\prime }(x)=0$は正の解と負の解を$1$つずつもつことを示せ．

(2)　(1)の正の解を$\theta$とする．関数$y=f(x)$の増減，極值，グラフの凹凸を調べて，そのグラフの概形をかけ．

(3)　(2)の$\theta$について，原点と点$(\theta ,f(\theta ))$を結んだ直線と，曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積を$a\text{，}$$\theta$で表せ．

(4)　(3)の面積を$S$として，極限値$\underset{a\to +0}{\lim }S$を求めよ．ただし，$\underset{a\to +0}{\lim }a\log a=0$は証明なしで用いてよい．

【４】　$i$$\text{（}1\leqq i\leqq 4\text{）}$と$k$を自然数とする．$1$つのおまけが付いた商品を$1$個ずつ繰り返し購入する．おまけは全部で$4$種類あり，購入した後にならないとどの種類かはわからないが，どの種類も等しい確率で入っている．商品を$k$個購入した時点で集まったおまけが$j$種類であるという事象を$A_{k,j}$とし，$A_{k,j}$の起こる確率を$p_{k,j}$とする．ただし，$k<j$のときは$p_{k,j}=0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$p_{j,j}$を$j$で表せ．また，$p_{k,1}$を$k$で表せ．

(2)　$j\leqq k$であるとき，事象$A_{k,j}$が起こったときの事象$A_{k+1,j}$が起こる条件付き確率$P(A_{k+1,j}|A_{k,j})$を$j\text{．}$$k$で表せ．

(3)　$p_{k+1,j}\text{，}$$p_{k,j}\text{，}$$p_{k,j-1}$の満たす関係式を求めよ．ただし，$p_{k,0}=0$とする．

(4)　$p_{k,2}$を$k$で表せ．