2020　滋賀県立大学　後期MathJax

【１】

(1)　袋の中に赤い玉が$a$個，白い玉が$b$個，青い玉が$c$個入っている．最初に袋の中から玉を無作為に$1$個取り出し，取り出した玉を袋に戻すとともに，取り出した玉と同じ色の玉を$n$個，袋に加える．次に袋の中から玉を無作為に$1$個取り出すとき，その玉が赤い玉である確率を$P$とする．$P$を求め，$P$が$n$に関係ないことを示せ．

【１】

(2)　媒介変数$t$を用いて，$x=e^{-\frac{1}{2}t}\text{，}$$y=\sqrt{t^2+1}$で表される曲線を$C$とする．原点から$C$に引いた接線の方程式を求めよ．

【１】

(3)　座標平面において，直交座標で表された点$(\cos 3t\cos t,\sin 3t\cos t)$の極座標$(r,\theta )$を考える．ただし，$0\leqq \theta <2\pi$とする．

(ア)　$t={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，$(r,\theta )$を求めよ．

(イ)　$0\leqq t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$r$を$\theta$の式で表せ．

【２】　曲線$C\text{：}y=|x^2-1|$と直線$l\text{：}-2x+3y=k$を考える．

(1)　$C$と$l$の共有点の$x$座標が$-{\displaystyle \frac{6}{5}}$のとき，$k$の値を求めよ．

(2)　$C$と$l$の共有点が$3$個以上のときを考える．

(ア)　$k$の値の範囲を求めよ．

(イ)　$k$が(ア)で求めた範囲の最大値をとるとき，すべての共有点の$x$座標を求めよ．

(ウ)　$k$が(ア)で求めた範囲の最小値をとるとき，$x\geqq 1$が表す領域で，直線$x=1$と$C$および$l$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

(3)　$-{\displaystyle \frac{6}{5}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{5}{3}}$の範囲で$C$と$l$の共有点が$2$個のとき，$k$の値の範囲を求めよ．

【３】　$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{9a_n-2}{9a_n}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で定められる数列$\{a_n\}$がある．

(1)　すべての自然数$n$に対して，$a_n-{\displaystyle \frac{2}{3}}>0$が成り立つことを，数学的帰納法を用いて示せ．

(2)　すべての自然数$n$に対して，$a_{n+1}-{\displaystyle \frac{2}{3}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n-{\displaystyle \frac{1}{3}}$が成り立つことを示せ．

(3)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【４】　関数$f(x)=e^{-x}\sin x$を考える．

(1)　$0\leqq x\leqq 2\pi$の範囲で，$f(x)$の最大値と最小値およびそのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$n$を自然数とする．$(n-1)\pi \leqq x\leqq n\pi$の範囲で，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V_n$とする．

(ア)　$V_n$を求めよ．

(イ)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{V}_n$が収束することを示し，その和$S$を求めよ．