2020　大阪市立大学　後期MathJax

【１】　$xy$平面上の$2$つの曲線

$C_1\text{：}y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$$C_2\text{：}{(y+{\displaystyle \frac{a}{2}})}^2=2bx$

について，次の問いに答えよ．ただし，$a\text{，}$$b$は正の定数とする．

問１　$a=6$とする．$C_1$と$C_2$は共有点$\mathrm{P}$をもち，点$\mathrm{P}$において共通の接線をもつとする．この接線の方程式および定数$b$の値を求めよ．

問２　$a=2$とする．$C_1$と$C_2$に接する傾きが正の直線が存在するような定数$b$の値の範囲を求めよ．

【２】　$x>0$に対して，

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+t^3}}}\mathit{dt}$

とする．

問１　$0<x_1<x_2$ならば，$0<f(x_1)<f(x_2)$が成り立つことを示せ．

問２　$f(x)$の逆関数を$g(x)$とするとき，$g(x)$の導関数$g^{\prime }(x)$を$g(x)$を用いて表せ．

問３　$g(x)$の第$2$次導関数$g^{″}(x)$を$g(x)$を用いて表せ．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間において，$3$点$\mathrm{A}$$(\sqrt{3}-1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,2,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,\sqrt{3}+1)$をとる．四面体$\mathrm{OABC}$に内接する球面を$S$とする．次の問いに答えよ．

問１　$S$の中心$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

問２　$S$と三角形$\mathrm{ABC}$が接する点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

【４】　$k$を$2$以上の自然数とし，$z=\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{k}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{k}}$とおく．ただし，$i$は虚数単位とする．次の問いに答えよ．

問１　$m\text{，}$$n$を整数とする．$m-n$が$k$の倍数であることは，$z^m=z^n$となるための必要十分条件であることを示せ．

問２　$l$を$k$と互いに素な自然数とする．このとき，複素数$z^l\text{，}$$z^{2l}\text{，}$$z^{3l}\text{．}$$\cdots \text{，}$$z^{kl}$はすべて異なることを示せ．

問３　$l$を自然数とする．複素数$z^l\text{，}$$z^{2l}\text{，}$$z^{3l}\text{，}$$\cdots \text{，}$$z^{kl}$がすべて異なるとき，$k$と$l$は互いに素であることを示せ．

【５】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$x\text{，}$$y\text{，}$$z$を実数とする．次の問いに答えよ．

問１　$a^2-b^2>0$のとき，$t$についての$2$次方程式${(at+x)}^2-{(bt+y)}^2=0$は，実数解をもつことを示せ．

問２　$a^2-b^2>0$のとき，${(ax-by)}^2\geqq (a^2-b^2)(x^2-y^2)$が成り立つことを示せ．

問３　$a^2-b^2-c^2>0$のとき，${(ax-by-cz)}^2\geqq (a^2-b^2-c^2)(x^2-y^2-z^2)$が成り立つことを示せ．

【４】　$p>1\text{，}$$q>1\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{p}}+{\displaystyle \frac{1}{q}}=1$とする．次の問いに答えよ．ただし，$r>0$に対して$0^r=0$とする．

問１　$s>0$のとき，曲線$y=x^{p-1}$と$x$軸および直線$x=s$で囲まれた図形の面積を$s$と$p$を用いて表せ．

問2　$t>0$のとき，曲線$y=x^{p-1}$と$y$軸および直線$y=t$で囲まれた図形の面積を$t$と$q$を用いて表せ．

問３　$s\geqq 0\text{，}$$t\geqq 0$に対して，次の不等式が成り立つことを証明せよ．

$st\leqq {\displaystyle \frac{s^p}{p}}+{\displaystyle \frac{t^q}{q}}$

問４　$f(x)\text{，}$$g(x)$を$a\leqq x\leqq b$において連続な関数とし，

${\displaystyle {\int }_a^b}{|f(x)|}^p\mathit{dx}={\displaystyle {\int }_a^b}{|g(x)|}^q\mathit{dx}=1$

をみたすとする．このとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．

${\displaystyle {\int }_a^b}|f(x)g(x)|\mathit{dx}\leqq 1$