2020　兵庫県立大学　中期MathJax

$f(x)=k{\log }_{a}x\text{，}$$g(x)={\log }_{a}x+{\log }_{b}x$

以下の問に答えなさい．ただし対数の性質を用いてもよい．

(1)　任意の$x>0\text{，}$$y>0$に対して，次の$2$つの等式が成り立つことを示しなさい．

$f(xy)=f(x)+f(y)\text{，}$$g(xy)=g(x)+g(y)$

(2)　$c=a^{\frac{1}{k}}$とおく．このとき，$f(x)={\log }_{c}x$が任意の$x>0$に対して成り立つことを示しなさい．

(3)　$ab\ne 1$のとき，$g(x)={\log }_{d}x$が任意の$x>0$に対して成り立つような実数$d$を$a\text{，}$$b$を用いて表しなさい．

(1)　$t={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，円$C$の半径$r$を求めなさい．

(2)　$a$を$t$を用いて表しなさい．

(3)　$a$と$t$の少なくとも一方は整数ではないことを示しなさい．ただし，「自然数$n$が平方数（ある自然数の$2$乗である数）でないなら$\sqrt{n}$は無理数である」ことを用いてもよい．

(1)　$\alpha +\beta +\gamma \text{，}$${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2\text{，}$${\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3$が実数であることを示しなさい．

(2)　任意の自然数$n$に対して${\alpha }^n+{\beta }^n+{\gamma }^n$が実数であることを示しなさい．

$\mathrm{A}(1+\cos 2\theta ,\sin 2\theta )$

$\mathrm{B}(-{\displaystyle \frac{1}{2}+\cos (2\theta +{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi ),{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+\sin (2\theta +{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi ))}$

以下の問に答えなさい．

(1)　$\mathrm{OA}=2\cos \theta$を示しなさい．

(2)　線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$する．直線$\mathrm{OM}$と直線$\mathrm{AB}$が直交することを示しなさい．

(3)　直線$\mathrm{AB}$は$\theta$の値によらず定点$({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$を通ることを示しなさい．

(1)　$P_2\text{，}$$P_3\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$をそれぞれ求めなさい．

(2)　$n\geqq 1$のとき，$a_{n+2}$を$a_{n+1}\text{，}$$a_n$を用いて表しなさい．

(3)　$2$次方程式$x^2-x-1=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha >\beta \text{）}$とするとき，数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$は，$a_n={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}({\alpha }^{n+2}-{\beta }^{n+2})$で与えられることを示しなさい．

(1)　$y=f(x)$のグラフをかきなさい．ただし，$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$を用いてもよい．

(2)　$y=ax+b$が$y=f(x)$$\text{（}x>0\text{）}$の接線であるとき，$b$を$a$を用いて表しなさい．

(3)　$xy$平面において，直線$l\text{：}y=tx+t(1-\log t)$$\text{（}t>0\text{）}$を考える．$t$の値がすべての正の実数にわたり変化するとき，直線$l$が通過する点全体がなす領域を$D$とする．領域$D$を図示しなさい．

$f(x)={\displaystyle \frac{\sin 4x}{\sin x}}$$(0<x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$のとる値の範囲を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

$\mathrm{PF}+\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }\leqq 4$

をみたす点全体からなる立体の体積を求めよ．

(1)　$a_{100}$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{100}}{a}_n$を求めよ．

(3)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{a_n}{2^n}}$の和を求めよ．

(1)　原点$\mathrm{O}(0)$を通る直線が$C$上の$2$点$\mathrm{P}(z)\text{，}$$\mathrm{Q}(w)$で交わるとき，$2$つの複素数の絶対値の積$\left|z\right|\cdot \left|w\right|$は，このときの直線によらず一定であることを示し，その値を求めよ．

(2)　複素数$z$が$C$上を動くとき，複素数${\displaystyle \frac{1}{z}}$によって与えられる点の軌跡を求め，図示せよ．