2020　奈良県立医科大学　後期医学科MathJax

【１】　二つの正整数$a\text{，}$$b$は互いに素であるとする．このとき，

$ax+by=ab-a-b$

を満たす$0$以上の整数$x\text{，}$$y$は存在しないことを証明せよ．

【２】　$\alpha$は$0<\alpha <1$を満たす実数とする．$\mathrm{O}$は$xy$平面の原点とし，$xy$平面上の点${\mathrm{A}}_0\text{，}$${\mathrm{B}}_0\text{，}$${\mathrm{C}}_0$が与えられたとき，以下の漸化式により，点${\mathrm{A}}_n\text{，}$${\mathrm{B}}_n\text{，}$${\mathrm{C}}_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$を定める．

$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_{n+1}}=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_n}+\alpha \overrightarrow{{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n}\\ \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}_{n+1}}=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}_n}+\alpha \overrightarrow{{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n}\\ \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{C}}_{n+1}}=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{C}}_n}+\alpha \overrightarrow{{\mathrm{C}}_n{\mathrm{A}}_n}\end{array}$$\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　${\mathrm{A}}_0$$(\cos 0,\sin 0)\text{，}$${\mathrm{B}}_0$$(\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}},\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{3}})\text{，}$${\mathrm{C}}_0$$(\cos {\displaystyle \frac{4\pi }{3}},\sin {\displaystyle \frac{4\pi }{3}})$とする．一般の$0$以上の整数$n$に対して，$\left|\overrightarrow{{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{{\mathrm{C}}_n{\mathrm{A}}_n}\right|$を$n$を用いて表せ．さらに，

$S(\alpha )={\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}\left|\overrightarrow{{\mathrm{A}}_n{\mathrm{A}}_{n+1}}\right|$

として，

$\underset{\alpha \to 0}{\lim }S(\alpha )$

を求めよ．

(2)　$a_x\text{，}$$a_y\text{，}$$b_x\text{，}$$b_y\text{，}$$c_x\text{，}$$c_y$を実数定数とし，${\mathrm{A}}_0$$(a_x,a_y)\text{，}$${\mathrm{B}}_0$$(b_x,b_y)\text{，}$${\mathrm{C}}_0$$(c_x,c_y)$とする．点$\mathrm{P}$の$x$座標の値，$y$座標の値をそれぞれ$x_{\mathrm{p}}\text{，}$$y_{\mathrm{p}}$で表すことにする．各$n\geqq 0$に対して，$r_n=\mathrm{Max}(x_{{\mathrm{A}}_n},x_{{\mathrm{B}}_n},x_{{\mathrm{C}}_n})-\mathrm{Min}(x_{{\mathrm{A}}_n},x_{{\mathrm{B}}_n},x_{{\mathrm{C}}_n})$とおく（ただし，$\mathrm{Max}\text{，}$$\mathrm{Min}$はそれぞれ，最大値，最小値を表す．）

　もし，ある$n$について，不等式

$x_{{\mathrm{A}}_n}\leqq x_{{\mathrm{B}}_n}\leqq x_{{\mathrm{C}}_n}$

が満たされると仮定する．このとき，不等式$r_{n+1}\leqq r_n\mathrm{Max}(\alpha ,1-\alpha )$が成り立つことを証明せよ．

(3)　(2)において，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{{\mathrm{A}}_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{{\mathrm{B}}_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{{\mathrm{C}}_n}\text{，}$$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_{{\mathrm{A}}_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_{{\mathrm{B}}_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_{{\mathrm{C}}_n}$

となることを証明し，これらの極限値を求めよ．

【３】　正整数$n$に対して，$x\text{，}$$y\text{，}$$z$についての整式$F_n$を次のように定義する；

$F_n=(x^n+y^n+z^n)(x^n{y}^n+y^n{z}^n+z^n{x}^n)-x^n{y}^n{z}^n$

(1)　$F_1$を因数分解せよ．

(2)　$n$が奇数ならば，$F_n$は$F_1$で割り切れることを証明せよ．

【４】　数列$a_0,a_1,\cdots ,a_n,\cdots$を${\{a_n\}}_{n=0\text{，}1\text{，}\cdots }$と記すことにする．数列${\{a_n\}}_{n=0\text{，}1\text{，}\cdots }$が周期数列であるとは，ある正整数$q$が存在し，$0$以上の任意の整数$n$に対して等式$a_{n+q}=a_n$が成り立つこととする．このとき，$q$を周期数列${\{a_n\}}_{n=0\text{，}1\text{，}\cdots }$の周期という．二つの数列${\{a_n\}}_{n=0\text{，}1\text{，}\cdots }$と${\{b_n\}}_{n=0\text{，}1\text{，}\cdots }$とが等しいとは，$0$以上の任意の整数$n$に対して，$a_n=b_n$が成り立つこととする．

(1)　周期数列${\{a_n\}}_{n=0\text{，}1\text{，}\cdots }$が与えられたとき，正整数$p$を${\{a_n\}}_{n=0\text{，}1\text{，}\cdots }$の最小の周期とする．このとき，${\{a_n\}}_{n=0\text{，}1\text{，}\cdots }$の任意の周期$q$は$p$で割り切れることを証明せよ．

(2)　数列${\{a_n\}}_{n=0\text{，}1\text{，}\cdots }$を周期数列とする．$0$以上の整数$i$に対して，周期数列${\{a_n^{(i)}\}}_{n=0\text{，}1\text{，}\cdots }$を，$a_n^{(i)}=a_{n+i}\text{，}$$n=0\text{，}$$1\text{，}$$\cdots$により定義する．もし，${\{a_n\}}_{n=0\text{，}1\text{，}\cdots }$の周期$p$$\text{（}>1\text{）}$が素数であり，関係式$a_0=a_1=\cdots =a_{p-1}$を満たさなければ，$p$個の周期数列${\{a_n^{(i)}\}}_{n=0\text{，}1\text{，}\cdots }$$\text{（}i=0\text{，}$$1\text{，}$$\cdots \text{，}$$p-1\text{）}$はすべて相異なることを証明せよ．

(3)　$c$を正整数，$p$$\text{（}>1\text{）}$を素数とする．周期$p$の周期数列${\{a_n\}}_{n=0\text{，}1\text{，}\cdots }$で，$0$以上の任意の整数$n$について$x_n$は$1$以上$c$以下の整数であるもの全体のなす集合を$S$とおく．$S$の要素の個数を求めよ．またこれを用いて，$c^p-c$は$p$の倍数であることを証明せよ，