2020　岡山県立大学　中期MathJax

【１】　$m\text{，}$$n$を$2$以上の自然数とする．袋の中に$1$個の赤球と$m-1$個の白球が入っている．袋から無作為に$1$個の球を取り出し，色を見て袋に戻す試行を$n$回繰り返す．以下の問いに答えよ．

(1)　取り出した球がすべて白球である確率$p_0$を求めよ．

(2)　$1$回目の試行と$n$回目の試行でのみ赤球を取り出す確率$p$を求めよ．

(3)　$r$を$n$以下の自然数とする．赤球をちょうど$r$回だけ取り出す確率$p_r$を求めよ．

(4)　取り出した赤球が偶数である確率を$p_{\alpha }\text{，}$奇数である確率を$p_{\beta }$とする．$p_{\alpha }-p_{\beta }$を求めよ．

(5)　$p_{\alpha }$を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{AC}=2$とする．辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{N}$とし，$\mathrm{\angle A}$の二等分線と直線$\mathrm{MN}$との交点を$\mathrm{D}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と平行であることを示せ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表せ．

(3)　$\mathrm{AD}=\sqrt{3}$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．

【３】〔１〕定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}}{\sin }^{4}x\cos x\mathit{dx}$を求めよ．

【３】〔２〕極限値$\underset{x\to 0}{\lim }({\displaystyle \frac{1}{x}}\tan 2x+x\sin {\displaystyle \frac{3}{x}})$を求めよ．

【３】〔３〕$a_n=(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})\times {(1+{\displaystyle \frac{2}{n}})}^2\times {(1+{\displaystyle \frac{3}{n}})}^3\times \cdots \times {(1+{\displaystyle \frac{n}{n}})}^n$

$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{)}$

とおくとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n^2}}\log a_n$を求めよ．

【４】　座標平面において曲線$y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}\log x$を$C$とする．曲線$C$の接線のうち原点を通るものを$l$とし，その接点を$\mathrm{A}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　接点$\mathrm{A}$における曲線$C$の法線と$x$軸との交点を求めよ．

(3)　曲線$C$と接線$l$および$x$軸とで囲まれた部分が$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．