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【2】 次の(1)〜(3)の内のカタカナに当てはまるまでの数字を求め,解答用マークシートの指定された箇所のマークを塗りつぶしなさい.ただし,分数は既約分数とする.また,などは既出のなどを表すものとする.
(1) 不等式が成り立つことを証明する.
これは,を示すのと同値である.より,であるから,である.また,であり,かつである.よって,となる.したがって,本題の不等式は成り立つ.
(2) により表される実数について考える.この実数を小数で表すと,小数第位に初めてでない数字が現れる.必要であれば,(1)の結果を利用すること.
(3) ある放射性元素の量が放射性崩壊によって指数関数的に減少し,日たつごとに量が半分になることを考える.その放射性元素の最初の量をとして,最初の量から分のになるのは日目である.
また,そのような放射性元素の量を縦軸に,日数を横軸にとったグラフとして最も適切なものは,図1に示すのうちのである.必要であれば,(1)の結果を利用すること.
【4】 ユークリッドの互除法は素因数分解を行わずに割り算の余りを利用して,最大公約数を求める方法である.それを使用して,次の(1),(2)の内のカタカナ(ア)〜(ス)に当てはまるまでの数字を求め,解答用紙マークシートの指定された箇所のマークを塗りつぶしなさい.ただし,進数は右下にを付けて表すことにする.また,などは既出のなどを表すものとする.
(1) 図2に示す縦横の長方形に,正方形を隙間なく敷き詰めることを考える.この時,縦と横を進数で表すと,
縦:
横:
となる.これらの値に対して,ユークリッドの互除法の手順を余りがになるまで繰り返すと,
となり,最も大きい正方形の辺の長さはである.
図2 |
(2) 図2に示す長方形に(1)で求めた正方形を敷き詰めたとき,地点から地点まで正方形に沿って最短経路を進むときの道順の総数は通りである.