2020　福岡女子大学　前期MathJax

【１】　放物線$C\text{：}y=-x^2+1$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$$(a,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(b,0)$とする$\text{（}a<0<b\text{）．}$また，$0<p<1$とするとき，$C$上の点$\mathrm{P}$$(p,-p^2+1)$と$\mathrm{Q}$$(-p,-p^2+1)$を考え，点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$における$C$の接線をそれぞれ$l\text{，}$$m$とする．以下の問に答えなさい．

(1)　四角形$\mathrm{ABPQ}$の面積$S_1$を$p$を用いて表しなさい．

(2)　四角形$\mathrm{ABPQ}$の面積$S_1$が最大になるときの$p$の値とそのときの$S_1$の値を求めなさい．

(3)　放物線$C$と$x$軸で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$l$と$m$と$x$軸で囲まれる部分の面積を$S_3$とする．$p$が(2)で求めた値をとるとき，$S_1$と$S_2$と$S_3$の比を求めなさい．

【２】　三角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3$の頂点${\mathrm{A}}_1$にコマが置かれている．コインを$3$回投げてコマの次の位置を決定する．次の位置は表の出た回数とコマの現在位置によって右の表に従って決定し，コマをその位置に置く．

　この操作を$n$回繰り返した後に，コマが頂点${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3$に置かれている確率を，それぞれ$p_n\text{，}$$q_n\text{，}$$r_n$とする．以下の問に答えなさい．

(1)　コマが頂点${\mathrm{A}}_1$にあるとき，コマが頂点${\mathrm{A}}_1$にとどまる確率，頂点${\mathrm{A}}_2$に移動する確率，頂点${\mathrm{A}}_3$に移動する確率をそれぞれ求めなさい．

(2)　$p_{n+1}\text{，}$$q_{n+1}\text{，}$$r_{n+1}$それぞれを，$p_n\text{，}$$q_n\text{，}$$r_n$を用いて表しなさい．

(3)　(2)で求めた$p_{nt1}$の式と$p_n+q_n+r_n=1$であることを用いて，$p_n$を$n$の式で表しなさい．

【３】　三角形$\mathrm{OAB}$は$\mathrm{\angle O}$と$\mathrm{\angle A}$と$\mathrm{\angle B}$の角度の比が$3:2:1$であり，$\mathrm{OA}$の長さは$1$である．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$（$s\text{，}$$t$は実数）で定まる点$\mathrm{P}$について考える．以下の問に答えなさい．

(1)　点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{OAB}$の周上または内部の点であるとき，$s\text{，}$$t$が満たす条件を答えなさい．

(2)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{PA}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{PB}}\right|}^2=l$とするとき，$l$を$s\text{，}$$t$を用いて表しなさい．

(3)　$l$の最小値，およびそのときの$s\text{，}$$t$の値を求めなさい．

(4)　$l$が最小になるとき，三角形$\mathrm{OAP}\text{，}$$\mathrm{OBP}\text{，}$$\mathrm{ABP}$の面積の比を求めなさい．

(5)　$\mathrm{\angle OPA}=\theta$とする．$l$が最小になるとき，$\sin \theta$の値を求めなさい．

【４】(1)　$y=|x^2-4x+3|-2x+6$のグラフの概形をかきなさい．

(2)　$y=|x^2-4x+3|$と$y=2x-6+k$の共有点の個数は定数$k$の値によってどのように変わるか答えなさい．

【５】　有理数は${\displaystyle \frac{q}{p}}$（$p\text{，}$$q$は整数，$p\ne 0\text{）}$と表せることを利用して，以下の問に答えなさい．

(1)　$\tan \theta$$\text{（}0\mathrm{°}<\theta <45\mathrm{°}\text{）}$が有理数であるとき，$\tan 2\theta$も有理数であることを示しなさい．

(2)　$\tan \alpha$と$\tan \beta$$\text{（}0\mathrm{°}<\alpha <\beta <90\mathrm{°}\text{）}$が有理数であるとき，$\tan (\alpha -\beta )$も有理数であることを示しなさい．

(3)　$\tan 4\mathrm{°}$が無理数であることを示しなさい．ただし，$\sqrt{3}$が無理数であることは証明せずに利用してよい．

【１】　次の極限値を求めなさい．

(1)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{\log }_2{\displaystyle \frac{1}{x+4-\sqrt{x^2+4}}}$

(2)　$\underset{x\to \infty }{\lim }\{{\log }_3(3^{x-1}-2^x)-{\log }_3(3^{x+1}+2^x)\}$

【４】　座標平面上の$2$点を$\mathrm{F}$$(1,0)\text{，}$${\mathrm{F}}^{\prime }$$(-1,0)$とするとき，以下の問に答えなさい．

(1)　$2$点$\mathrm{F}$および${\mathrm{F}}^{\prime }$から点$\mathrm{P}$$(x,y)$への距離の和$\mathrm{PF}+\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }$が$6$であるような点$\mathrm{P}$の軌跡を求め，概形をかきなさい．

(2)　点$\mathrm{Q}$$(x,y)$から直線$l\text{：}x=9$に下ろした垂線を$\mathrm{QH}$とするとき，$\mathrm{QH}:\mathrm{QF}=3:1$となるような点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めなさい．

(3)　点$\mathrm{F}$を極とし，点$\mathrm{F}$から$x$軸の正の方向に向かう半直線を始線とする極座標において，(1)で求めた軌跡の極方程式を$r=f(\theta )$の形式で求めなさい．ただし，$r$は極から点$\mathrm{P}$への距離，$\theta$は点$\mathrm{P}$の偏角である．

【５】　曲線$C\text{：}x=t^2\text{，}$$y={(t-1)}^2$$\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$について，以下の問に答えなさい．

(1)　曲線$C$の概形をかきなさい．

(2)　$0<s<1$とするとき，$t=s$における曲線$C$の接線$l$の方程式を$s$を用いて表しなさい．

(3)　曲線$C\text{，}$$z$軸，$y$軸で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V_1$とする．また，接線$l\text{，}$$x$軸，$y$軸で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V_2$とする．$V=V_1-V_2$とするとき，$V$が最小になるときの$s$の値および，そのときの$V$の値を求めなさい．