2020　東北学院大学　前期分割文，経済，教養学部2月3日MathJax

【１】　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=13\text{，}$$\mathrm{BC}=13\text{，}$$\mathrm{CD}=7\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=60\mathrm{°}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．

(ⅱ)　$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

(ⅲ)　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を求めよ．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を定数とし，$2$次関数$y=a{x}^2+bx+c$は$x=-1$と$x=3$で同じ値をとるものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　この$2$次関数のグラフの軸が$x=1$であることを示せ．

(ⅱ)　この関数の定義域が$0\leqq x\leqq 1$であるとき，その値域は$1\leqq y\leqq 3$であるという．このとき，定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．

【３】　実数$a\text{，}$$b$が$\left|a\right|>\left|b\right|$を満たすとき，不等式

${\displaystyle \frac{1}{|a-b|}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{\left|a\right|-\left|b\right|}}$

が成り立つことを示せ．また，等号が成立するための条件を求めよ．

【４】　連立方程式

$\{\begin{array}{ll}{3}^x=3-26y& \cdots \text{(1)}\\ x=2+{\log }_{\sqrt{3}}y& \cdots \text{(2)}\end{array}$

について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　${\log }_{\sqrt{3}}y$を${\log }_{3}y$を用いて表せ．

(ⅱ)　連立方程式(1)，(2)を満たす$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$187$と$221$の最大公約数と最小公倍数を求めよ．

(ⅱ)　$10000$以下の自然数のうち，$187$でも$221$でも割り切れない数の個数を求めよ．

【６】　空間内の$4$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{P}$$(0,2,0)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(a,b,0)\text{，}$$\mathrm{R}$$(c,d,e)$について，次の問いに答えよ．ただし$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d\text{，}$$e$は正の定数である．

(ⅰ)　三角形$\mathrm{OPQ}$が正三角形のとき，$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

(ⅱ)　四面体$\mathrm{OPQR}$が正四面体のとき，$c\text{，}$$d\text{，}$$e$の値を求めよ．