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2020　自治医科大　医学科

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【１】　整式 $4 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1$ を整式 $2 x - 1$ で割るとき，商が $a x^{2} + b x + c ，$ 余りが $d$ となるとする． $a + b + c + d$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【２】　 $x (y + z) = 35 ，$ $y (z + x) = 32 ，$ $z (x + y) = 27$ のとき， $\frac{{(x y z)}^{2}}{400}$ の値を求めよ． $（ x ，$ $y ，$ $z$ は実数とする）

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【３】　 $x ，$ $y$ は自然数とする $（ x ≧ 5 ，$ $y ≧ 3 ）．$ $1 + \log_{x} (y - 2)$ $= 4 \log_{x^{2}} 2 + 3 \log_{x^{3}} (y + 6)$ が成立するとき， $| x - y |$ の最小値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【４】　関数 $f (x) = a \cos^{2} x$ $+ (a - b) \sin x \cos x$ $+ b \sin^{2} x$ の最大値が $3 + \sqrt{7} ，$ 最小値が $3 - \sqrt{7}$ となるとき， $a + b$ の値を求めよ． $（ a ，$ $b$ は実数， $a \neq b ）$

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【５】　座標平面上において，直線 $L 1 ： y = 1$ と直線 $L 1$ 上の点 $A$ $(t, 1)$ $（ t > 0 ）$ と原点 $O$ を結ぶ線分 $OA$ の垂直二等分線を $L 2$ とする．線分 $OA$ の中点を $B ，$ 直線 $L 2$ と $x$ 軸との交点を $C$ とする． $▵OBC$ の面積が $1$ となるとき， $t$ の値は異なる $2$ つの実数 $α ，$ $β$ $（ β > α > 0 ）$ の値をとる． $α + β$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【６】　座標平面上の $3$ 点 $A$ $(1, 0) ，$ $B$ $(\frac{3}{2}, 0) ，$ $C$ $(0, 1)$ を頂点とする $▵ABC$ と直線 $l ： y = m x$ $（ m$ は正の実数）について考える． $▵ABC$ の面積が，直線 $l$ によって二等分されるとき， $9 m$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【７】　四角形 $ABCD$ は，円に内接する． $AB = 1 ，$ $BC = 2 ，$ $CD = 3 ，$ $DA = 4$ を満たすとき，四角形 $ABCD$ の面積を $S$ とする． $\frac{\sqrt{6}}{2} S$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【８】　複素数 $Z = \frac{{(1 + i)}^{3} {(a - i)}^{2}}{\sqrt{2} {(a - 3 i)}^{2}}$ $(i^{2} = - 1 ， | Z | = \frac{2}{3})$ $（ a$ は実数）について考える． $Z^{n}$ が実数となる自然数 $n$ の最小値を $m$ とするとき， $\frac{m}{2}$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【９】　 $3$ 次方程式 $x^{3} + (2 a^{2} - 1) x^{2}$ $- (5 a^{2} - 4 a) x$ $+ 3 a^{2} - 4 a = 0$ $（ a$ は実数）が実数の $2$ 重解をもつとき， $a$ のとりうる値の和を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【10】　 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{10} ，$ $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{6} ，$ $\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{a} - \vec{b}$ のなす角が $60 °$ であるとする． $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $θ$ としたとき， $| 7 \cos θ |$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【11】　 $1 ，$ $2 ，$ $3 ，$ $4 ，$ $5 ，$ $6 ，$ $7 ，$ $8 ，$ $9 ，$ $10$ の数字が書かれている $10$ 枚のカードから異なる $3$ 枚のカードを選ぶこととする．選んだカードの数字の積が奇数となる確率を $P ，$ 選んだカードの数字の積が $4$ の倍数となる確率を $Q$ とする． $\frac{Q}{P}$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【12】　楕円 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $（ a > 0 ，$ $b > 0 ，$ $a ，$ $b$ は実数， $a \neq b ）$ と直線 $l ： x = t$ $（ - a < t < a ）$ について考える．楕円 $C$ と直線 $l$ の $2$ つの交点を $P ，$ $Q$ とし，点 $A$ の座標を $(- a, 0)$ と定める． $A ，$ $P ，$ $Q$ の各点を頂点とする三角形の面積の最大値を $M$ とする． $\frac{4 \sqrt{3}}{a b} M$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【13】　曲線 $C ： y = 5 \cos^{2} x$ $+ 5 \sqrt{2} \sin x + \sqrt{2} k$ $（ 0 ≦ x ≦ 2 π ）$ $（ k$ は正の実数）について考える．曲線 $C$ と $x$ 軸が接するとき， $k$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【14】　円 $C 1 ： x^{2} + y^{2} = 1$ と曲線 $C 2 ： y = x^{2} - 2$ について考える．円 $C 1$ 上の点 $P$ $(α, β)$ $（ α ≧ 0 ，$ $α \neq 1 ）$ における円 $C 1$ の接線と曲線 $C 2$ で囲まれた図形の面積の最小値を $m$ とする． $4 m^{2}$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【15】　 $I = \int_{0}^{2 π} e^{3 x} \sin k x dx$ $（ k$ は自然数）について考える． $S = e^{6 π} + \lim_{k \to \infty} k I$ とするとき， $S$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【16】　曲線 $C ： \sqrt{\frac{x}{6}} + \sqrt{\frac{y}{4}} = 1$ $（ x ，$ $y$ は実数， $x ≧ 0 ，$ $y ≧ 0 ）$ について考える．曲線 $C$ と $x$ 軸と $y$ 軸で囲まれた図形の面積を $S$ とする． $S$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【17】　次の文章を読み，以下の問い（問題17〜21）に対する選択肢から最も適当なものを一つ選べ．

　曲線 $C_{k} ： y = e^{- k x}$ $（ k$ は自然数， $x$ は正の実数）について考える．曲線 $C_{k}$ 上の点 $P_{k}$ $(t, e^{- k t})$ $（ t$ は正の実数）における曲線 $C_{k}$ の接線を $L_{k}$ とし， $L_{k}$ と $x$ 軸との交点を $A_{k} ，$ $L_{k}$ と $y$ 軸との交点を $B_{k}$ とする．（原点を $O$ とする）

Ⅰ　 $k = 1$ のとき， $▵ O A_{1} B_{1}$ の面積は， $t = 17$ で最大値 $18$ となる．

$17$

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

$18$

$㋐ \frac{1}{e}$ $㋕ \frac{2}{e}$ $㋚ \frac{3}{e}$ $㋟ \frac{4}{e}$ $㋤ \frac{5}{e}$

$㋩ \frac{1}{2 e}$ $㋮ \frac{3}{2 e}$ $㋳ \frac{2}{3 e}$ $㋶ \frac{5}{3 e}$ $㋻ \frac{7}{3 e}$

Ⅱ　 $▵ O A_{k} B_{k}$ の面積は， $t = 19$ のとき，最大値 $20$ をとる．

$19$

$㋐ \frac{1}{k^{2}}$ $㋕ \frac{2}{k^{2}}$ $㋚ \frac{3}{k^{2}}$ $㋟ \frac{1}{2 k^{2}}$ $㋤ \frac{3}{2 k^{2}}$

$㋩ \frac{1}{2 k}$ $㋮ \frac{3}{2 k}$ $㋳ \frac{1}{k}$ $㋶ \frac{2}{k}$ $㋻ \frac{3}{k}$

$20$

$㋐ \frac{1}{k^{2} e}$ $㋕ \frac{2}{k^{2} e}$ $㋚ \frac{3}{k^{2} e}$ $㋟ \frac{1}{2 k^{2} e}$ $㋤ \frac{3}{2 k^{2} e}$ $㋩ \frac{1}{2 k e}$ $㋮ \frac{3}{2 k e}$ $㋳ \frac{1}{k e}$ $㋶ \frac{2}{k e}$ $㋻ \frac{3}{k e}$

Ⅲ　 $▵ O A_{k} B_{k}$ の面積の最大値を $S_{k}$ とする．無限級数 $\sum_{k = 1}^{\infty} S_{k}$ は， $21$ することになる．

$21$

$㋐ \frac{\log 2}{e} に収束$ $㋕ \frac{\log 3}{e} に収束$ $㋚ \frac{\log 4}{e} に収束$ $㋟ \frac{\log 2}{2 e} に収束$ $㋤ \frac{\log 3}{2 e} に収束$ $㋩発散$ $㋮ \frac{\log 2}{e^{2}} に収束$ $㋳ \frac{2 \log 2}{e^{2}} に収束$ $㋶ \frac{3 \log 2}{e^{2}} に収束$ $㋻ \frac{4 \log 2}{e^{2}} に収束$

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【18】　次の文章を読み，以下の問い（問題22〜25）に対する選択肢から最も適当なものを一つ選べ．

　 $k$ を $0$ 以上の整数とする． $3$ つの不等式 $y ≦ - \frac{x}{2} + k ，$ $x ≧ 0 ，$ $y ≧ 0$ を満たす整数 $x ，$ $y$ の組 $(x, y)$ の個数を $f (k)$ と表記する．

Ⅰ　 $f (0) = 22$ となる．

$22$

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

Ⅱ　 $f (3) = f (2) + R$ であるとき， $R$ は $23$ となる．

$23$

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

Ⅲ　 $f (k) = f (k - 1) + S$ であるとき， $S$ は $24$ となる． $（ k$ は $1$ 以上の整数とする．）

$24$

$㋐ k$ $㋕ 2 k$ $㋚ 3 k$ $㋟ k + 1$ $㋤ k + 2$

$㋩ 2 k + 1$ $㋮ 2 k + 2$ $㋳ 2 k + 3$ $㋶ 3 k + 2$ $㋻ 4 k + 3$

Ⅳ　 $f (k) = 25$ と表すことができる．

$25$

$㋐ k^{2}$ $㋕ 2 k^{2}$ $㋚ 3 k^{2}$ $㋟ {(k + 1)}^{2}$ $㋤ 2 {(k + 1)}^{2}$ $㋩ 3 {(k + 1)}^{2}$ $㋮ {(k + 2)}^{2}$ $㋳ 2 {(k + 2)}^{2}$ $㋶ 3 {(k + 2)}^{2}$ $㋻ {(k + 3)}^{2}$

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