2020　自治医科大　看護学科MathJax

【１】(1)　${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}}$の分母を有理化すると，${\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ア}}-\sqrt{\text{イ}}}{\text{ウ}}}$である．

　また，

${\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{3}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}}$$+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{9}}}=\text{エ}$

である．

【１】(2)　不等式$|4x-3|<2x+1$を解くと，

${\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}}<x<\text{キ}$

である．

【１】(3)　$P=x^4-6x^3+x^2+24x-20$とする．$t=x^2-3x$とおくと

$t^2=x^4-\text{ク}{x}^3+\text{ケ}{x}^2$

であることに注意して，$P$を$t$を用いて表すと

$P=t^2-\text{コ}t-\text{サシ}$

$=(t-\text{スセ})(t+\text{ソ})$

となる．したがって，もとの$x$で表された$P$を因数分解すると

$P=(x-\text{タ})(x-\text{チ})(x-\text{ツ})(x+2)$

である．ただし，$\text{タ}<\text{チ}<\text{ツ}$とする．

【２】　$x$の$2$次関数$y=x^2-2x+4$のグラフを$G$とする．

　$G$の頂点の座標は$(\text{ア},\text{イ})$である．

(1)　$G$を$y$軸方向に$p$だけ平行移動して得られるグラフが，$x$軸と異なる二つの共有点をもち，それら共有点の$x$座標の差が$2$となるとき実数の定数$p$の値は$\text{ウエ}$である．

(2)　$a$を実数の定数として，$G$を$x$軸方向に$a\text{，}$$y$軸方向に$2a$だけ平行移動して得られるグラフを$F$とする．$F$の方程式を$y=f(x)$とすると，

$f(x)=x^2-\text{オ}(a+\text{カ})x$$+a^2+\text{キ}a+\text{ク}$

である．$2$次関数$y=f(x)$の$3\leqq x\leqq 5$における最小値を$m$とすると，

$a<\text{ケ}$のとき$m=a^2-\text{コ}a+\text{サ}$

$\text{ケ}\leqq a<\text{シ}$のとき$m=\text{ス}a+\text{セ}$

$\text{シ}\leqq a$のとき$m=a^2-\text{ソ}a+\text{タチ}$

であり，$m\leqq 10$を満たす$a$の値の範囲は

$\text{ツテ}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{\text{ト}}{\text{ナ}}}$

である．

【３】　$\mathrm{▵ABC}$において$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{BC}=2\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=120\mathrm{°}$とし，$\mathrm{▵ABC}$の外接円を$K\text{，}$その半径を$R$とする．

　また，$\mathrm{\angle ABC}$の二等分線と外接円$K$の交点のうち$\mathrm{B}$でない方を$\mathrm{D}$とし，直線$\mathrm{BD}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{E}$とする．

$\mathrm{AC}=\text{ア}\sqrt{\text{イ}}\text{，}$$R={\displaystyle \frac{\text{ウ}\sqrt{\text{エオ}}}{\text{カ}}}$

である．

(1)　線分$\mathrm{BE}$の長さを$x$とすると

$\mathrm{▵ABE}$の面積は$\sqrt{\text{キ}}x$

$\mathrm{▵BCE}$の面積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ク}}}{\text{ケ}}}x$

と表せる．この二つの面積の和が$\mathrm{▵ABC}$の面積に等しいことから

$x=\mathrm{BE}={\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}$

である．

　円周角に注意すると$\mathrm{DC}=\text{シ}\sqrt{\text{ス}}$であり$\mathrm{▵ACD}$の面積がわかることから，二つの線分$\mathrm{BE}\text{，}$$\mathrm{DE}$の長さの比について

${\displaystyle \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{DE}}}={\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソ}}}$

である．

(2)　直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とするとき，四つの線分$\mathrm{FA}\text{，}$$\mathrm{FC}\text{，}$$\mathrm{FB}\text{，}$$\mathrm{FD}$の長さの比について

${\displaystyle \frac{\mathrm{FC}}{\mathrm{FA}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{FB}}{\mathrm{FD}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\text{タ}}}}$

であり，

$\mathrm{FB}=\text{チ}$

である．

【４】[１]　$1$から$5$までの番号のついた箱が一つずつ計五つある．それぞれの箱に一つずつ色のついた玉を入れることを考える．以下で何通りというとき，玉については色のみを区別するとし，どの色の玉も$5$個ずつあるとする．

(1)　赤または白の玉を入れるとき，その入れ方は$\text{アイ}$通りある．

(2)　(1)のとき，赤，白どちらの玉も必ずどれかの箱に入るような入れ方は$\text{ウエ}$通りある．

(3)　赤または白または青の玉を入れるとき，どの色も必ずどれかの箱に入るような入れ方は$\text{オカキ}$通りある．

(4)　赤または白または青または黄の玉を入れるとき，どの色も必ずどれかの箱に入るような入れ方は$\text{クケコ}$通りある．

【４】[２]　一つのサイコロを$1$回投げて，

奇数の目が出たら$2$点，

偶数の目が出たら$1$点

を得るゲーム$\mathrm{G}$を考える．

　ゲーム$\mathrm{G}$を$5$回続けて行ったとき，得点すべての和が$8$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シス}}}$である．