2020　学習院大学　文（コア）学部MathJax

2020-13331-0101

2020　学習院大学　文（コア）学部

20点

2月9日実施

易□　並□　難□

【１】　 $a$ を実数とし，放物線 $y = x^{2} - x$ と直線 $y = a x + 4$ で囲まれた図形の面積を $S$ とする．

(1)　 $S$ を求めよ．

(2)　 $a$ が実数全体を動くとき， $S$ の最小値と，最小値を与える $a$ の値を求めよ．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．また，答えが分数になる場合は，既約分数で答えよ．

2020-13331-0102

2020　学習院大学　文（コア）学部

30点

2月9日実施

易□　並□　難□

【２】　区別できない $2$ 種類（ $R ，$ $W$ と呼ぶ）の種子が大量にある．それぞれの種類の種子をまいたとき， $R$ の種子は確率 $\frac{4}{5}$ で発芽し， $W$ の種子は確率 $\frac{3}{4}$ で発芽する．さらに， $R$ の種子が発芽したとき確率 $\frac{1}{2}$ で開花して赤い花を $1$ つつけ， $W$ の種子が発芽したとき確率 $\frac{7}{10}$ で開花して白い花を $1$ つつける．ただし， $1$ つの種子からは $2$ つ以上の花は咲かないものとする．

(1)　種類 $R ，$ $W$ を $3 : 2$ で混ぜた大量の種子の集まりから $1$ つ取り出してまくとする．

(a)　まいた種子が発芽する確率を求めよ．

(b)　まいた種子が発芽したとき，赤い花が開花する確率を求めよ．

(2)　 $2$ 種類の種子を混ぜた合計 $1000$ 個の種子の集まりから $1$ つ取り出してまいたとき，赤い花が開花する確率と白い花が開花する確率の差が最小となるような $R$ の種子の個数を求めよ．

　この問題については，答えだけでなく，答えを導く過程も書くこと．

2020-13331-0103

2020　学習院大学　文（コア）学部

(1),(2)あわせて20点

2月9日実施

易□　並□　難□

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　整式 $f (x)$ を $x + 1$ で割ったとき，余りが $7$ で商が $g (x)$ であるとする．また， $g (x)$ を $2 x^{２} + 3 x - 2$ で割った余りは $x - 5$ である． $f (x)$ を $x + 2$ で割った余りを求めよ．

この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

2020-13331-0104

2020　学習院大学　文（コア）学部

(1),(2)あわせて20点

2月9日実施

易□　並□　難□

【３】　以下の問いに答えよ．

(2)　 $2$ つの等式

$x + 2 y + 1 = 0 ，$ $3^{1 - x} + 9^{1 - y} = 82$

を同時に満たす実数の組 $(x, y)$ をすべて求めよ．

この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

2020-13331-0105

2020　学習院大学　文（コア）学部

30点

2月9日実施

易□　並□　難□

【４】　 $a > \frac{1}{2}$ とし，放物線 $C ： y = x^{2}$ を考える．点 $(0, a)$ を中心とし $C$ と共有点を持つような円のうち，半径最小のものを $C_{1} ，$ その半径を $r$ とする．右図を参照のこと．

(1)　 $r$ を $a$ で表せ．

(2)　 $b > a$ とする． $(0, b)$ を中心とし放物線 $C$ と共有点を持つような円のうち，半径最小のものを $C_{2}$ とする． $C_{2}$ が $C_{1}$ と接するとき， $C_{2}$ の半径は $r + 1$ に等しいことを示せ．

　この問題については，答えだけでなく，答えを導く過程も書くこと．

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