2020　慶応義塾大学　理工学部MathJax

【１】(1)　$i$を虚数単位とする．複素数平面上で$z=x+yi$は，$\left|z\right|=1$かつ$y\geqq 0$を満たしながら動くとする．ただし，$x$と$y$は実数である．このとき，点$z$のえがく図形を$C$とする．また，$C$上に$2$点${\mathrm{A}}_1(z_1)\text{，}$${\mathrm{A}}_2(z_2)$をとったとき，線分${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2$の中点を$\mathrm{M}$とする．

(ⅰ)　$z_1=1$とする．点${\mathrm{A}}_2(z_2)$が$C$上を動くとき，$\mathrm{M}$がえがく曲線と実軸で囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{(ア)}}$である．

(ⅱ)　$2$点${\mathrm{A}}_1(z_1)\text{，}$${\mathrm{A}}_2(z_2)$が$z_2\overline{z_1}={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$を満たしながら$C$上を動くとき，$\mathrm{M}$がえがく曲線の長さは，$\boxed{\text{(イ)}}$である．ただし，$\overline{z_1}$は$z_1$と共役な複素数である．

【１】(2)　次の$2$つの放物線

$C_1\text{：}y=x^2\text{，}$$C_2\text{：}y=x^2-4$

を考える．$C_2$上の点$\mathrm{P}$$(t,t^2-4)$から$C_1$に$2$本の接線を引く．これら$2$本の接線と$C_1$の接点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．ただし，点$\mathrm{A}$の$x$座標は点$\mathrm{B}$の$x$座標より小さいとする．このとき，点$\mathrm{A}$の$x$座標は，$t$を用いて表すと，$\boxed{\text{(ウ)}}$となる．

　次に，線分$\mathrm{PA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{QB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=\boxed{\text{(エ)}}\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\boxed{\text{(オ)}}\overrightarrow{\mathrm{PB}}$である．点$\mathrm{P}$が$C_2$上を動くとき，点$\mathrm{R}$$(x,y)$の軌跡の方程式は$y=\boxed{\text{(カ)}}$である．

【２】(1)　$P(x)$を整式とし，$P^{\prime }(x)$を$P(x)$の導関数とする．このとき，$x=\alpha$が方程式$P^{\prime }(x)=0$の解となることは，$x=\alpha$が方程式$P(x)=0$の$2$重解となるための必要条件であることを証明しなさい．

(2)　$k$が$0$でない実数を動くとき，放物線$C_1\text{：}y=k{x}^2$と円$C_2\text{：}{(x-5)}^2+y^2=7$の共有点の個数は最大で$\boxed{\text{(キ)}}$個である．

(3)　(2)において，放物線$C_1$と円$C_2$の共有点の個数がちょうど$1$個となる$k$を考える．このとき，共有点の$x$座標は$k$の値によらず$\boxed{\text{(ク)}}$である．また，$k$の取り得る値は，$\boxed{\text{(ケ)}}$である．

【３】　赤い玉と白い玉が$3$個ずつ入った箱があり，次のような操作を繰り返す．表の出る確率が$p\text{，}$裏の出る確率が$1-p$のコインを投げ，

●　表が出た場合，$1$個の玉を箱から取り出す．

●　裏が出た場合，$2$個の玉を同時に箱から取り出す．

(1)　$p={\displaystyle \frac{1}{2}}$とし，各操作で取り出した玉はもとの箱に戻すものとする．$2$回の操作で取り出した玉の色がすべて赤である確率は$\boxed{\text{(コ)}}$である．

　また，$3$回の操作で取り出した玉の総数が$5$個であるという条件の下で，取り出した玉の色がすべて赤である確率は$\boxed{\text{(サ)}}$である．

(2)　$p={\displaystyle \frac{1}{2}}$とし，各操作で取り出した玉は箱に戻さないものとする．$2$回の操作で取り出した玉の色がすべて赤である確率は$\boxed{\text{(シ)}}$である．

(3)　$0<p<1$とし，各操作で取り出した玉は箱に戻さないものとする．$3$回の操作で赤い玉と白い玉をちょうど$2$個ずつ取り出す確率は$\boxed{\text{(ス)}}$である．

　また，$3$回の操作で取り出した赤い玉と白い玉の数が等しい確率が$1-p$となるのは$p=\boxed{\text{(セ)}}$のときである．

【４】　実数全体で定義された連続な関数$f(x)$に対し，

$g(x)={\displaystyle {\int }_0^{2x}}{e}^{-f(t-x)}\mathit{dt}$

とおく．

(1)　$f(x)=x$のとき，$g(x)=\boxed{\text{(ソ)}}$である．

(2)　実数全体で定義された連続な関数$f(x)$に対し，$g(x)$は奇関数であることを示しなさい．

(3)　$f(x)=\sin x$のとき，$g(x)$の導関数$g^{\prime }(x)$を求めると，$g^{\prime }(x)=\boxed{\text{(タ)}}$である．

(4)　$f(x)$が偶関数であり，$g(x)=x^3+3x$となるとき，$f(x)=\boxed{\text{(チ)}}$である．このとき，${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)\mathit{dx}$の値は$\boxed{\text{(ツ)}}$である．

【５】　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{BC}=3$とし，対角線$\mathrm{AC}$の長さを$4$とする．辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CD}\text{，}$$\mathrm{DA}$上にそれぞれ点$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}$を$\mathrm{AE}=\mathrm{BF}=\mathrm{CG}=\mathrm{DH}=x$を満たすようにとる．ただし，$x$は$0<x<2$の範囲を動くとする．さらに，対角線$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}$を$\mathrm{AP}=x^2$を満たすようにとる．以下では，平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積を$S$とする．

(1)　$\mathrm{▵AEP}$の面積を$T_1$とする．${\displaystyle \frac{T_1}{S}}$は，$x$を用いて表すと$\boxed{\text{(テ)}}$となる．

(2)　$\mathrm{▵EFP}$の面積を$T_2$とする．${\displaystyle \frac{T_2}{S}}$は，$x=\boxed{\text{(ト)}}$のとき最大値$\boxed{\text{(ナ)}}$をとる．

(3)　$\mathrm{▵GHP}$の面積を$T_3$とする．${\displaystyle \frac{T_3}{S}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$となるのは$x=\boxed{\text{(ニ)}}$のときである．

(4)　点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{EH}$上にあるのは$x=\boxed{\text{(ヌ)}}$のときである．