2020　東邦大学　健康科学部看護学科A日程MathJax

【１】(1)　放物線$y=2x^2-3x+2$の頂点の座標は，$({\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}},{\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}})$である．

(2)　放物線$y=2x^2-3x+2$を点$({\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}},{\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}})$に関して対称に移動すると，放物線$y=-2x^2+9x-2$となる．

【２】　四面体$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=4\text{，}$$\mathrm{CA}=6\text{，}$$\mathrm{DA}=\mathrm{DB}=\mathrm{DC}=\sqrt{10}$である．

(1)　$\cos \mathrm{\angle BAC}={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$である．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の外接円の半径は${\displaystyle \frac{\text{ウ}\sqrt{\text{エ}}}{\text{オ}}}$である．

(3)　四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は${\displaystyle \frac{\text{カ}\sqrt{\text{キ}}}{\text{ク}}}$である．

【３】　赤玉$6$個と白玉$4$個が入っている袋から，$\mathrm{A}$が$1$個の玉を取り出し，続いて，$\mathrm{B}$が$2$個の玉を同時に取り出す．ただし，取り出した玉は元に戻さない．

(1)　$\mathrm{B}$が赤玉$1$個と白玉$1$個を取り出す確率は${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イウ}}}$である．

(2)　$\mathrm{B}$が赤玉$1$個と白玉$1$個を取り出したとき，$\mathrm{A}$が取り出した玉が赤玉である確率は${\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}}}$である．

【４】　$3$で割ったときの余りが$2$である自然数の集合を$A$とする．

　$7$で割ったときの余りが$3$である自然数の集合を$\mathrm{B}$とする．

(1)　$A\cup B$に属する$2$桁の自然数は$\text{アイ}$個ある．

(2)　$A\cap B$に属する$3$桁の自然数で最大のものは$\text{ウエオ}$である．

【５】　$0\leqq \theta \leqq \pi$において，$\sin \theta -\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{3}}$である．

(1)　$\sin \theta \cos \theta ={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$である．

(2)　$\sin \theta +\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ウエ}}}{\text{オ}}}$である．

【６】　実数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$は$5^x=8^y={48}^z=900\sqrt{30}$を満たす．

(1)　$x{\log }_{2}5=\text{ア}y$$=z(\text{イ}+{\log }_{2}3)$$={\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}{\log }_{2}30$である．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{y}}+{\displaystyle \frac{1}{z}}={\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}}$である．

【７】　円$C\text{：}{x}^2+y^2-8x+4y+10=0$と直線$y=kx$が異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$で交わる．ただし，$k$は実数の定数である．円$C$の中心を$\mathrm{C}$とする．

(1)　点$\mathrm{C}$の座標は$(\boxed{\text{ア}},\text{イウ})\text{，}$円$C$の半径は$\sqrt{\text{エオ}}$である．

(2)　$k$のとり得る値の範囲は，$\text{カキ}<k<{\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}$である．

(3)　$\mathrm{\angle ACB}=90\mathrm{°}$のとき，$k={\displaystyle \frac{\text{コサ}\pm \text{シ}\sqrt{\text{ス}}}{\text{セソ}}}$である．

【８】　放物線$y=-x^2+6x-9$上の点$(t,-t^2+6t-9)$における接線を$l$とする．ただし，$t$は実数の定数である．

(1)　直線$l$の方程式は，$y=(\text{アイ}t+\text{ウ})x+t^2-\text{エ}$である．

(2)　直線$l$と放物線$y=x^2$が接するとき，$t=\text{オ}$または$\text{カ}$である．ただし，$\text{オ}<\text{カ}$とする．

(3)　$t=\text{オ}\text{．}$$\text{カ}$のときの直線$l$をそれぞれ$l_1\text{，}$$l_2$とする．$2$直線$l_1\text{，}$$l_2$と放物線$y=x^2$で囲まれた部分の面積は${\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}$である．