2020　南山大　経営，外国語学部2月9日実施MathJax

【１】　$$の中に答を入れよ．

(1)　$a$を実数として，$2$次方程式$x^2-2ax-a+2=0$が異なる$2$つの実数解をもつとき，$a$のとりうる値の範囲は$\text{ア}$である．さらに，その実数解がいずれも$-1<x<5$の範囲にあるならば，$a$のとりうる値の範囲は$\text{イ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(2)　$a>2$として，$3$辺の長さが$a\text{，}$$a+2\text{，}$$2a$であり，$1$つの内角の大きさが$120\mathrm{°}$である三角形がある．このとき$a$の値は$\text{ウ}$であり，この三角形に内接する円の半径は$\text{エ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　$a>0$として，$xy$平面上に円$C\text{：}$$x^2-2ax+y^2-2(a^2+2)y$$+a^4$$+3a^2$$+12a$$-15$$=0$がある．$C$の面積が最も小さくなるのは$a=\text{オ}$のときである．また，原点を$\mathrm{O}\text{，}$$C$の中心を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{A}$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸の交点を$\mathrm{B}$とするとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積が$6$となるのは$a=\text{カ}$のときである．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．このとき，${18}^{10}$は$\text{キ}$桁の整数である．また，${\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{100}$を小数で表すと，小数第$\text{ク}$位に初めて$0$でない数字が現れる．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(5)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3$$-a{x}^2$$+(a^2-16)x+2$が極大値と極小値をもつとき，定数$a$のとりうる値の範囲は$\text{ケ}$である．また，極大値と極小値を与える$x$の値がいずれも$x>0$の範囲にあるとき，$a$のとりうる値の範囲は$\text{コ}$である．

【２】　$xy$平面上に$2$つの曲線$C_1\text{：}y=-x^2+x\text{，}$$C_2\text{：}y=x^2-3x+a$と，点$(1,1)$を通る$2$つの直線$l_1\text{，}$$l_2$がある．ただし，$a<2$である．$l_{\mathrm{１}}\text{，}$$l_2$はともに$C_1$に接しており，$l_1$の傾きは正，$l_2$の傾きは負である．

(1)　$l_1\text{，}$$l_2$の方程式をそれぞれ求めよ．

(2)　$C_1\text{，}$$l_1$および$l_2$で囲まれた部分の面積$S_1$を求めよ．

(3)　$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積$S_2$を，$a$を用いて表せ．

(4)　$S_1:S_2=1:4$のとき，$a$の値を求めよ．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　$n\geqq 2$として，$1$から$n$までの番号をつけた$n$枚のカードから，同時に$2$枚を取り出す．$2$枚のカードの番号の積が$6$の倍数になる確率は，$n=8$のとき$\text{キ}$であり，$n=30$のとき$\text{ク}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(5)　座標空間において，$4$点$\mathrm{A}$$(2,2,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,-1,3)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,1,-1)\text{，}$$\mathrm{D}$$(x,y,z)$が同じ平面上にある．このとき，$x$を$y$と$z$を用いて表すと$x=\text{ケ}$であり，さらに四角形$\mathrm{ABCD}$が平行四辺形のとき，$\mathrm{D}$の座標は$(x,y,z)=\text{コ}$である．

【３】　次の数列$\{a_n\}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を考える．

$0,$$1,$$2,$$3,$$4,$$5,$$6,$$7,$$8,$$10,$$11,$$12,$$13,$$14,$$15,$$16,$$17,$$18,$$20,$$21,$$\cdots$

これは，$0$から$8$までの$9$種類の数字を用いて表される$0$以上の整数を，$0$から始めて小さい方から順に並べたものである．

(1)　$a_{46}$と$a_{82}$の値を求めよ．

(2)　$a_n=2020$となる$n$の値を求めよ．

(3)　$b_m={\displaystyle \sum _{k=81m-80}^{81m}}{a}_k$で定義される数列$\{b_m\}$$\text{（}m=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$について，$b_1$を求めよ．

(4)　${\displaystyle \sum _{\mathrm{.m}=1}^9}{b}_m$を求めよ．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(5)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{-1+\log x}{x}}$が$x=k$で極値をとる．このとき，$k=\text{ケ}$であり，${\displaystyle {\int }_e^k}f(x)\mathit{dx}$の値は$\text{コ}$である．ただし．$e$は自然対数の底である．