2020　立命館大　文系学部Ａ方式2月1日実施MathJax

【１】

〔1〕　$x$軸に接し，点$(s,t)$を中心とする円を$C\text{，}$直線$y=x$を$l$とする．ただし，$s>t>0$とする．

(a)　円$C$の半径は$\text{ア}$で，中心から直線$l$までの距離は$\text{イ}$である．

(b)　円$C$と直線$l$が共有点をもつための条件は，$\text{ウ}\leqq {\displaystyle \frac{t}{s}}<\text{エ}$である．

(c)　円$C$と直線$l$が異なる$2$つの共有点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$をもち，円$C$上に$\mathrm{▵PQR}$が正三角形となるように点$\mathrm{R}$をとる．このとき，${\displaystyle \frac{t}{s}}=\text{オ}$である．

(d)　(c)の正三角形の面積が$12\sqrt{3}$となるとき，$s=\text{カ}\text{，}$$t=\text{キ}$である．

【１】

〔2〕　図の$\text{①}$から$\text{⑥}$の$6$つの部分を色鉛筆を使って塗り分ける方法について考える．ただし，$1$つの部分は$1$つの色で塗り，隣り合う部分は異なる色で塗るものとする．答えは記号を用いず，数字で求めよ．

(a)　$6$色で塗り分ける方法は，$\text{ク}$通りである．

(b)　$5$色で塗り分ける方法は，$\text{ケ}$通りである．

(c)　$4$色で塗り分ける方法は，$\text{コ}$通りである．

(d)　$3$色で塗り分ける方法は，$\text{サ}$通りである．

【１】

〔3〕　$2$つの放物線$F_1\text{：}y=x^2+12x+2$と$F_2\text{：}y=x^2-6x+11$がある．$F_1$と$F_2$の両方に接する直線$l$は$y=\text{シ}x-\text{ス}$である．このとき，放物線$F_1$と直線$l$は点$（\text{セ},\text{ソ})$で接しており，放物線$F_2$と直線$l$は点$(\text{タ},\text{チ})$で接している．また，$2$つの放物線$F_1\text{，}$$F_2$と直線$l$で囲まれた部分の面積は$\text{ツ}$である．

【２】　以下の問いに答えよ．なお，別表の数値を使うよう指示があるところは，その数値を使って解答すること．

〔1〕　いま，銀行に$X$円を預金するとき，年間で$4\mathrm{\%}\text{，}$すなわち$X\times 0.04$円の利子が$1$年後につくものとする．この年利率の下で$100$万円の預金をしたとき，$1$年後には，その元利合計（元の預金額と利子を合計した金額）は$\text{ア}$万円となる．これは，現在の$100$万円と$1$年後に得られる$\text{ア}$万円とは同じ価値を持つことを意味しており，$1$年後に得られる$\text{ア}$万円は，現在の価値に換算すれば$100$万円ということになる．したがって，$1$年後に得られる$100$万円を現在の価値に換算すれば${\displaystyle \frac{100}{1.04}}$万円となる．このように，将来に発生するお金と，それを現在の価値に換算したものとは，その大きさが異なる．

〔2〕　預金する期間にわたって年利率が$4\mathrm{\%}$で変わらなければ，複利法（受け取った利子を毎年預金額に繰り入れる方法）の計算により，最初に$100$万円を預金したときから$10$年後の元利合計は，$100\times {1.04}^{\text{イ}}$万円となる．このことから，〔1〕と同様に考えれば，$10$年後に得られる$100$万円という金額は，現在の価値に換算すれば，別表の数値を使って，$\text{ウ}$万円ということになる．このような方法で将来得られる$Y$円を現在の価値に換算したものは，将来の$Y$円の「現在価値」と呼ばれる．

〔3〕　以上の考え方に従って，耐用年数（利用し続けることができる年数）が$20$年の発電施設Aが生み出す収益の現在価値を考える．この施設は，$1$年後，$2$年後，$\cdots \text{，}$$20$年後まで，毎年$100$億円の収益を生み出すものとする．年利率は$4\mathrm{\%}$で変わらないとして，$t$年後の$100$億円の現在価値を$a_t$で表し，$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_{20}$の数列を考えるとき，その数列は，初項が$\text{エ}$億円，公比が$\text{オ}$の等比数列となる．したがって，この発電施設$\mathrm{A}$が$20$年間にわたって生み出す収益の現在価値の合計は，別表の数値を使って，$\text{カ}$億円となる．

〔4〕　次に，耐用年数が$10$年の発電施設$\mathrm{B}$が生み出す収益の現在価値を考える．この施設は$t$年後に${\displaystyle \frac{900}{{(1.04)}^{4t}}}$億円の収益を生み出すものとする．年利率は$4\mathrm{\%}$で変わらないとして，この施設が生み出す$t$年後の収益の現在価値を$b_t$で表し，$b_1\text{，}$$b_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$b_{10}$の数列を考えるとき，その数列は，別表の数値を使って，初項が$\text{キ}$億円，公比が$\text{ク}$の等比数列となる．したがって，この発電施設$\mathrm{B}$が$10$年間にわたって生み出す収益の現在価値の合計は，別表の数値を使って，$\text{ケ}$億円となる．

〔5〕　〔4〕の発電施設$\mathrm{B}$を$10$年ごとに$3$回建設する状況を考える．年利率は$4\mathrm{\%}$で変わらないとき，発電施設$\mathrm{B}$の$3$回の建設により，合計$30$年にわたって生み出される収益の現在価値の合計は，別表の数値を使って，$\text{ケ}\times \text{コ}$億円となる．

【３】　次の問いに答えよ．ただし，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

〔1〕　${\tan }^2\theta$を$\cos \theta$を用いて表せ．

〔2〕　$\tan \theta =x$とするとき，$\sin 2\theta \text{，}$$\cos 2\theta$を$x$で表せ．

〔3〕　$x$がすべての実数値をとるとき，分数式${\displaystyle \frac{7+6x-x^2}{1+x^2}}$の最大値を求める．

(a)　〔2〕の結果を利用して，分数式を$\sin 2\theta \text{，}$$\cos 2\theta$を用いて表せ．

(b)　(a)の結果を用いて，分数式の最大値を求めよ．

〔4〕　〔3〕の分数式が最大値をとるときの$x$の値を求めよ．