2020　立命館大　薬学部Ａ方式2月2日実施MathJax

【１】

〔1〕　$a$を定数とする．$x$についての方程式

$(2^x-3^x)({\displaystyle \frac{3}{2^x}}-{\displaystyle \frac{2}{3^x}})=a$$\cdots \text{①}$

を考える．$X={\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^x$とおくと，方程式$\text{①}$は$X$を用いて$\text{ア}X+{\displaystyle \frac{\text{イ}}{X}}+a=\text{ウ}$$\cdots \text{②}$となる．

　$X$についての方程式$\text{②}$が異なる$2$つの正の実数解をもつ$a$の値の範囲は$\text{エ}$である．

　このとき，$x$についての方程式$\text{①}$も異なる$2$つの実数解$\alpha \text{，}$$\beta$をもち，方程式$\text{②}$の$2$つの解の積の値を考えると，$\alpha +\beta =\text{オ}$であることがわかる．

【１】

〔2〕　ある水槽に水を入れておくと，$1$日（$24$時間）経つと水の容積が$10\mathrm{\%}$減少する．その水槽が空の時，$1$回目に$10$リットルの水を入れ，その後，$1$日経つ毎に$p$リットル$\text{（}0<p<10\text{）}$の水をさらに入れるものとする．$a_n$は$n$回目に水を入れた直後の水槽の水の容積（単位はリットル）とする．

　数列$\{a_n\}$において，$n\geqq 1$のとき$a_{n+1}$と$a_n$の間には，$p$を用いて$a_{n+1}=\text{カ}$となる関係式が成り立つ．したがって，数列$\{a_n\}$の一般項は$n$と$p$を用いて，$a_n=10\{\text{キ}\}p+10\text{ク}$となる．

　よって，毎回水を入れた直後の水の容積が常に一定となるのは，$p=\text{ケ}$のときである．

【１】

〔3〕　生徒$10$人に対して，$10$点満点の数学の小テストを$2$回行なった．$1$回目の小テストの成績は平均点$5$(点)，標準偏差$2$(点)であった．

　$2$回目の小テストでは，成績が$1$回目$3$点から$2$点上がって$5$点になった生徒が$3$人，$5$点から$3$点上がって$8$点になった生徒が$2$人，逆に$7$点から$1$点下がって$6$点になった生徒が$2$人いた．他の$3$人の成績は，それぞれ$1$回目と変わらなかった．

　このとき，$1$回目の小テストの成績の分散は$\text{コ}$であり，$2$回目の小テストの成績は平均$\text{サ}$(点)，標準偏差$\text{シ}$(点)である．

　ただし，標準偏差が無理数になるときは無理数のままでよい．

【２】　$xy$平面上$\text{（}z=0\text{）}$に描かれた関数$y=x^3-6x^2+9x-2$$\text{（}0\leqq x\leqq 5\text{）}$（図１）を$z$軸方向に$1$だけ平行移動させたとき，この関数の曲線の軌跡が描く曲面と，$z=0\text{，}$および$z=1$の平面で囲まれた領域を容器とする立体を考える（図２）．また，図２のように上方に置かれた蛇口から静かに給水する．

　単位時間当たりに流れ出る水の体積を$q$とし，水面は$xz$平面に対して平行に保たれているものとする．

〔1〕　容器の最も深いところの$xy$座標は$(\text{ア},\text{イ})$である．時間$t$の間に蛇口から流れ出る水の体積は$\text{ウ}$である．容器が空の状態から水面が$y=0$に到達するまでの時間は$\text{エ}$である．水があふれ出るところの$xy$座標は$(\text{オ},\text{カ})$である．容器が空の状態から水があふれ出るまでの時間は$\text{キ}$である．

〔2〕　次に，水面の$y$座標の上昇速度${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}}$と$x$に関する$3$次方程式$x^3-6x^2+9x-2-y=0$の解との関係を求めよう．ただし，容器は満水でも空でもないとする．

　水面の$y$座標が$y$のときの容器内の水の体積を$V(y)$と表す．短い時間$\mathit{\Delta t}$の間の水面の上昇量を$\mathit{\Delta y}$とする．このとき，水の体積の増分$\mathit{\Delta V}=V(y+\mathit{\Delta y})-V(y)$を考える．$\mathit{\Delta y}$と$x^3-6x^2+9x-2-s=0$の解の$\alpha (s)\text{，}$$\beta (s)\text{，}$$\gamma (s)$（ただし，$\alpha (s)\leqq \beta (s)\leqq \gamma (s)\text{，}$$y\leqq s\leqq y+\mathit{\Delta y}$）のうち適当なものを用いて奥行き$1$の直方体を作り，その体積$\text{ク}$が$\mathit{\Delta V}$と等しくなるように$s$をとることができる．また，短い時間$\mathit{\Delta t}$の間に蛇口から流れ出る水の体積は$\text{ケ}$なので，$\text{ケ}=\text{ク}$となる．

　ここで，$\mathit{\Delta t}\to 0$のとき$\mathit{\Delta y}\to \text{コ}\text{，}$$s\to \text{サ}$であるので，${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}}=\underset{\mathit{\Delta t}\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\mathit{\Delta y}}{\mathit{\Delta t}}}=\text{シ}$が得られる．

【３】　空間座標において，$4$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(0,1,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,-1,3)\text{，}$$\mathrm{P}$$(t,u,t)$があり，$\mathrm{\angle AOP}=90\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{OP}=2\sqrt{6}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

　$t>0$のとき，$t=\text{ア}\text{，}$$u=\text{イ}$である．これらの$4$点を通る球面を$S$とすると，球面$S$の中心は$(\text{ウ},\text{エ},\text{オ})$であり，球面$S$の半径は$\text{カ}$である．

　さらに，球面$S$と平面$z=k$が交わってできる円$C_1$の方程式は$k$を用いて${(x+\text{キ})}^2+{(y+\text{ク})}^2=\text{ケ}$かつ$z=k$と表される．この円の半径が$\sqrt{7}$のとき，$k=\text{コ}$または$\text{サ}$である．

　次に，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る平面$\alpha$を考えると，平面$\alpha$に垂直で，$x$成分が正の単位ベクトル$\overrightarrow{n}$は$(\text{シ},\text{ス},\text{セ})$である．このとき，平面$\alpha$と球面$S$が交わってできる円$C_2$の中心は$(\text{ソ},\text{タ},\text{チ})$であり，円$C_2$の半径は$\text{ツ}$である．

【４】〔1〕　箱の中に白色のカードが$4$枚，赤色のカードが$3$枚入っている．白色のカードには$1$から$4$までの自然数が，赤色のカードには$5$から$7$までの自然数がそれぞれ書かれている．箱からカードを$1$枚ずつ引き出し，引いたカードは箱に戻さないものとする．赤色のカードを箱から引いた時点で試行が終了するとき，次の問いに答えよ．

(a)　$2$回目ではじめて赤色のカードを引く確率は，$\text{ア}$であり，$3$回目ではじめて赤色のカードを引く確率は，$\text{イ}$である．

(b)　全ての引いたカードに書かれた数の合計が$10$である確率は，$\text{ウ}$である．

(c)　引いたカードに書かれた数が全て奇数である確率は，$\text{エ}$である．このとき，引いたカードの中に$1$のカードが含まれる確率は，$\text{オ}$である．

〔2〕　箱の中に白色のカードが$n$枚，赤色のカードが$3$枚入っている．引いたカードは箱に戻さずに，赤色のカードが出るまでカードを引く．$x$回目で，はじめて赤色のカードを引く確率を$P_n(x)$とすると，$n\geqq 3$のとき，${\displaystyle \frac{P_{n+1}(4)}{P_n(4)}}$は$n$を用いて$\text{カ}$で表される．$P_n(4)$が最大になるのは，$n$が$\text{キ}$または$\text{ク}$のときである．